Karteikarten: Mathématiques Session principale 2009 — 32 Karten

Comment résout-on une équation du second degré dans les nombres complexes ?

On utilise le discriminant et les racines complexes.

Comment se représente géométriquement un nombre complexe ?

Sa partie réelle est l'abscisse et sa partie imaginaire l'ordonnée.

Qu'est-ce qu'une primitive d'une fonction f sur un intervalle ?

C'est une fonction dérivable dont la dérivée est f sur cet intervalle.

Comment calcule-t-on une intégrale définie à partir d'une primitive ?

On soustrait la valeur de la primitive à la borne inférieure de celle à la borne supérieure.

Quel vecteur est normal au plan (HBC) pour A(1,0,-1), B(1,3,5), C(-7,2,2), H(-1,4,3) ?

Le produit vectoriel de 1HB2 et 1HC2 est normal au plan (HBC).

Quelle est l'équation cartésienne du plan (HBC) ?

L'équation est x - 2y - 2z + 15 = 0.

Quelle surface est définie par x² + y² + z² - 4y - 2z + 1 = 0 ?

C'est une sphère de centre I(0,2,1) et de rayon 2.

Que se passe-t-il si la distance du centre d'une sphère à un plan dépasse le rayon ?

Le plan ne coupe pas la sphère.

Quand une droite est-elle tangente à une sphère ?

Lorsque la distance entre le centre de la sphère et la droite égale le rayon.

Quelle est la valeur de p(M) dans le modèle étudié ?

p(M) vaut 1/3.

Quelle est la probabilité conditionnelle p(C|M) donnée ?

p(C|M) vaut 0,8.

Quelle formule exprime p(C∩M) en fonction de p(M) et p(C|M) ?

p(C∩M) = p(M) × p(C|M).

Comment calcule-t-on p(C∩¬M) avec p(¬M) et p(C|¬M) ?

p(C∩¬M) = p(¬M) × p(C|¬M).

Quelle formule donne p(C) selon la formule des probabilités totales ?

p(C) = p(C∩M) + p(C∩¬M).

Comment s'exprime p(M|C) en fonction de p(C∩M) et p(C) ?

p(M|C) = p(C∩M) / p(C).

Quelles sont les propriétés de la restriction g de f à [0,+∞[ ?

g est continue, strictement décroissante et bijective de [0,+∞[ sur ]-∞,g(0)].

Qu'impose la bijectivité de g concernant l'équation f(x)=0 ?

Elle admet une solution unique α sur l'intervalle considéré.

Que permet de conclure le théorème des valeurs intermédiaires avec g(1)>0 et g(1,5)<0 ?

Que 1<α<1,5.

Quelle est la nature de la branche de la courbe de f au voisinage de +∞ ?

Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

Quelle est la factorisation de f(x)-x ?

f(x)-x se factorise en (1+e^x)(1-x).

Quand les courbes de f et y=x se rencontrent-elles ?

Elles se rencontrent lorsque f(x)-x=0, donc pour x=1.

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

On détermine le signe de la différence de leurs ordonnées.

Que déduit-on du signe de la différence des ordonnées de deux courbes ?

On déduit quelle courbe est au-dessus de l’autre.

Quelle fonction est une primitive de f(x)=1+e^x-xe^x sur ℝ ?

F(x)=x+(2-x)e^x est une primitive de f sur ℝ.

Comment calcule-t-on l'aire sous la courbe de f entre 0 et 1 ?

L'aire est l'intégrale de f de 0 à 1, soit F(1)-F(0).

Quelle est la valeur de l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses sur [0,1] ?

Cette aire vaut e-1,5 unités d'aire.

Quelle inégalité lie f(x) et x sur ]-∞,1] ?

f(x) est supérieur ou égal à x sur ]-∞,1].

Comment s'exprime l'aire entre les courbes de f et de x sur [0,1] ?

Elle s'exprime par l'intégrale de (f(x)-x) de 0 à 1.

Quelle est la valeur de l'aire entre les courbes de f et de x sur [0,1] ?

Cette aire vaut e-1,5 unités d'aire.

Qu'échange la fonction réciproque g^{-1} d'une bijection g ?

Elle échange les antécédents et les images.

Quelle symétrie existe entre les courbes d'une fonction et de sa réciproque ?

Elles sont symétriques par rapport à la droite y=x.

Quelle est la valeur de l'intégrale de g entre -1 et 1 dans l'exercice ?

Elle vaut e-2 unités d’aire.