Lernzettel: Mouvements d'une particule chargée

📋 Plan du Cours

1. Cadre du mouvement et forces
2. Équations générales du mouvement
3. Cas particuliers de trajectoire
4. Déviation dans un condensateur plan
5. Formules clés et remarques

📖 1. Cadre du mouvement et forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Particule chargée : Une particule porte une charge $q$ et a une masse $m$, ce qui détermine sa réponse aux champs et à la pesanteur.
• Champ de pesanteur uniforme : Le champ de pesanteur est pris uniforme et dirigé verticalement vers le bas, noté avec $\mathbf g$ (par exemple $\mathbf g=-g\,\mathbf j$).
• Champ électrique uniforme : Le champ électrique $\mathbf E$ est supposé constant (même norme et direction) dans la zone étudiée.
• Force électrique : La force électrique exercée sur la particule vaut $\mathbf F_e=q\,\mathbf E$.
• Référentiel galiléen : Le mouvement s’écrit avec la dynamique de Newton dans un référentiel galiléen.

📝 Points essentiels

• La force totale constante s’écrit $\mathbf F=q\,\mathbf E+m\,\mathbf g$ et la relation de dynamique donne $\mathbf a=(q/m)\,\mathbf E+\mathbf g$.
• Dans un repère usuel $(O,\mathbf i,\mathbf j)$, on projette pour obtenir $a_x=(q/m)E_x$ et $a_y=(q/m)E_y-g$.

💡 Astuce mémo

Accélération = (charge sur masse) × champ + pesanteur.

📖 2. Équations générales du mouvement

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération constante : Quand $\mathbf E$ et $\mathbf g$ sont uniformes, la résultante $\mathbf F$ est constante, donc $\mathbf a$ est constante.
• Cinématique projetée : Les positions et vitesses s’obtiennent en projetant la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré sur $x$ et $y$.
• Élimination de t : Pour obtenir la trajectoire, on relie $x(t)$ et $y(t)$ en éliminant le temps $t$ entre les deux expressions.

📝 Points essentiels

• Avec $a_x=(q/m)E_x$ et $a_y=(q/m)E_y-g$, on a $x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac12 a_xt^2$ et $y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac12 a_yt^2$.
• Les vitesses suivent $v_x(t)=v_{0x}+a_xt$ et $v_y(t)=v_{0y}+a_yt$, et la norme vérifie $v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.

💡 Astuce mémo

Paraboles : accélération constante puis élimination de $t$.

📖 3. Cas particuliers de trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement de projectile : Cas $\mathbf E=\mathbf 0$ : la particule n’est soumise qu’à la pesanteur, ce qui produit une trajectoire parabolique.
• Mouvement uniformément accéléré : Cas $\mathbf g=\mathbf 0$ : seule l’accélération due au champ électrique agit, avec des équations de type MRUA.
• Trajectoire parabolique : Lorsque l’accélération est constante dans le plan, la trajectoire obtenue en éliminant le temps est une parabole.

📝 Points essentiels

• Si $\mathbf E=0$, alors $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$ et $y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\tfrac12 gt^2$, avec $R=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$ et $T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$.
• Si $\mathbf g=0$, alors $x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac12\left(\dfrac{qE_x}{m}\right)t^2$ et $y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac12\left(\dfrac{qE_y}{m}\right)t^2$, et si $\mathbf E$ // $Ox$ avec $v_{0y}=0$ la trajectoire est parabolique.

💡 Astuce mémo

$\mathbf E=0$ : projectile (chute seule) ; $\mathbf g=0$ : champ seul (MRUA).

📖 4. Déviation dans un condensateur plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ uniforme d’un condensateur plan : Entre deux plaques, on modélise le champ uniforme par $E=U/d$ où $U$ est la tension et $d$ l’écart des plaques.
• Entrée avec vitesse horizontale : Au point d’entrée $O$, on prend une vitesse initiale horizontale $v_0$ (donc composante verticale initiale nulle dans le modèle).
• Après la sortie du champ : Une fois sorti de la zone où $\mathbf E$ n’est plus présent, le mouvement devient rectiligne uniforme selon la tangente acquise.

📝 Points essentiels

• Avec $E=U/d$ et une entrée avec $v_0$ horizontale, on obtient $x(t)=v_0 t$ et $y(t)=-\tfrac12\left(\dfrac{qE}{m}\right)t^2$, donc $y=-\dfrac{qE}{2mv_0^2}x^2$.
• À la sortie à $x=L$, la déviation et la vitesse verticale valent $y(L)=-\dfrac{qEL^2}{2mv_0^2}$ et $v_y(L)=-\dfrac{qEL}{mv_0}$, et le signe de $q$ donne le sens vers la plaque négative si $q>0$ et vers la plaque positive si $q<0$.

💡 Astuce mémo

Le signe de $q$ renverse la déviation.

📖 5. Formules clés et remarques

🔑 Notions clés & Définitions

• Résultante constante : La constance de $\mathbf F=q\mathbf E+m\mathbf g$ implique la constance de $\mathbf a$, donc une forme de trajectoire déterminée.
• Vitesse : La vitesse instantanée est donnée par $\mathbf v(t)=\mathbf v_0+\mathbf a\,t$ et sa norme par $v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
• Adaptation au repère : Les formules restent valables avec d’autres orientations d’axes en utilisant correctement les composantes $E_x,E_y$ et $a_x,a_y$.

📝 Points essentiels

• La trajectoire est toujours une parabole car l’accélération est constante dans le modèle avec $\mathbf E$ uniforme et $\mathbf g$ uniforme.
• Le champ électrique modifie la trajectoire via le signe de $q$, mais les expressions cinématiques restent les mêmes après adaptation des projections $a_x$ et $a_y$.

💡 Astuce mémo

Accélération constante ⇒ parabole ; projections = même formules.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des deux cas limites

Cas	Condition	Trajectoire/nom
Projectile	$\mathbf E=\mathbf 0$	Parabole (chute sous $g$)
MRUA électrique	$\mathbf g=\mathbf 0$	Parabole si $\mathbf E$ // $Ox$ et $v_{0y}=0$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\mathbf F_e=q\,\mathbf E$ avec le poids $\mathbf P=m\,\mathbf g$ et donc oublier le signe de la composante de $\mathbf g$.
2. Prendre $a_y$ comme $+(q/m)E_y$ au lieu de $a_y=(q/m)E_y-g$ dans le repère $(O,\mathbf i,\mathbf j)$.
3. Utiliser les formules de projectile avec $\mathbf E\neq\mathbf 0$ ou celles du condensateur avec $\mathbf g\neq\mathbf 0$ alors que le modèle correspondant change l’accélération.
4. Déduire le sens de la déviation sans utiliser le signe de $q$ (alors que la formule donne un $y$ proportionnel à $-q$ dans le modèle du condensateur).
5. Oublier que l’accélération est constante : la trajectoire devient parabolique uniquement dans ce cadre (champs uniformes).
6. Tenter d’obtenir la trajectoire en gardant $t$ : il faut éliminer $t$ entre $x(t)$ et $y(t)$ pour obtenir l’équation de la trajectoire.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la force résultante $\mathbf F=q\,\mathbf E+m\mathbf g$ et en déduire l’accélération $\mathbf a=(q/m)\mathbf E+\mathbf g$.
2. Projeter l’accélération sur les axes pour obtenir $a_x=(q/m)E_x$ et $a_y=(q/m)E_y-g$.
3. Écrire $x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac12 a_xt^2$ et $y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac12 a_yt^2$ quand $\mathbf a$ est constante.
4. Écrire $v_x(t)=v_{0x}+a_xt$ et $v_y(t)=v_{0y}+a_yt$, puis $v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
5. Pour $\mathbf E=\mathbf 0$, retrouver $x(t)=v_0\cos\alpha\,t$ et $y(t)=v_0\sin\alpha\,t-\tfrac12 gt^2$ ainsi que $R=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$ et $T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$.
6. Pour $\mathbf g=\mathbf 0$, appliquer les équations MRUA avec $\tfrac12(qE_x/m)t^2$ et $\tfrac12(qE_y/m)t^2$ et reconnaître le cas $\mathbf E$ // $Ox$ avec $v_{0y}=0$ menant à une parabole.
7. Dans le cas général $\mathbf E\neq\mathbf 0$ et $\mathbf g\neq\mathbf 0$, expliquer pourquoi la trajectoire reste parabolique à partir de l’accélération constante.
8. Pour le condensateur plan, poser $E=U/d$ et modéliser l’entrée avec $v_0$ horizontale pour écrire $x(t)=v_0t$ et $y=-\tfrac12\left(\dfrac{qE}{m}\right)t^2$.
9. Obtenir la trajectoire du condensateur sous la forme $y=-\dfrac{qE}{2mv_0^2}x^2$ et calculer à $x=L$ les valeurs $y(L)=-\dfrac{qEL^2}{2mv_0^2}$ et $v_y(L)=-\dfrac{qEL}{mv_0}$.
10. Déterminer le sens de la déviation dans le condensateur : vers la plaque négative si $q>0$ et vers la plaque positive si $q<0$.
11. Savoir conclure : après la sortie du condensateur (plus de champ), le mouvement est rectiligne uniforme selon la tangente en sortie.