Lernzettel: Nombres rationnels et fractions essentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition des nombres rationnels
2. Écritures équivalentes des fractions
3. Simplification des fractions par divisibilité
4. Problèmes sur fractions et nombres décimaux

📖 1. Définition des nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme $a/b$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b\neq 0$.
• Écriture fractionnaire : Une écriture fractionnaire d’un rationnel est une représentation $a/b$ où le dénominateur n’est jamais nul.

📝 Points essentiels

• Tout rationnel s’écrit comme $a/b$ avec $b\neq 0$ et $a$ entier relatif.
• Un entier relatif est aussi un rationnel, par exemple $-7=-7/1$.
• Un rationnel peut être décimal ou non décimal, par exemple $2{,}79=279/100$ et $11/3$ n’est pas décimal.
• La division $11\div 3$ ne se termine pas, donc $11/3$ n’a pas d’écriture décimale finie.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction avec dénominateur non nul : pense “$b\neq 0$”.

📖 2. Écritures équivalentes des fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions équivalentes : Des fractions sont équivalentes quand elles représentent le même nombre, même si leurs numérateurs et dénominateurs changent.
• Produit en croix (idée) : Pour obtenir une fraction équivalente, on peut multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.

📝 Points essentiels

• On peut passer de $a/b$ à $a/c\times c/b$ quand $b\neq 0$ et $c\neq 0$.
• On peut aussi écrire $a/b=a/c\div b/c$ avec $b\neq 0$ et $c\neq 0$.
• Pour obtenir une fraction équivalente, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul.
• Pour obtenir une fraction équivalente, on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre non nul (si ce nombre divise les deux).

💡 Astuce mémo

Même “changement” en haut et en bas : ×k ou ÷k, la valeur reste la même.

📖 3. Simplification des fractions par divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Simplification de fraction : Simplifier une fraction consiste à remplacer $a/b$ par une fraction équivalente avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
• Critères de divisibilité : Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de repérer des facteurs communs pour simplifier une fraction.

📝 Points essentiels

• On peut simplifier $25/40$ en factorisant : $25/40=(5\times 5)/(5\times 8)=5/8$.
• On peut simplifier $6/4$ en factorisant : $6/4=(2\times 3)/(2\times 2)=3/2$.
• La simplification repose sur l’existence d’un facteur commun au numérateur et au dénominateur.
• Les factorisations utilisées doivent être cohérentes avec les critères de divisibilité pour faire apparaître le même facteur.

💡 Astuce mémo

Cherche le facteur commun : il “se coupe” en haut et en bas.

📖 4. Problèmes sur fractions et nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec une écriture décimale finie (par exemple via une fraction qui se termine en décimales).
• Fraction de contenance : Une fraction de contenance exprime une partie d’une quantité totale, ici la contenance du réservoir.

📝 Points essentiels

• Si le scooter consomme $1/5$ à l’aller, il reste $1-1/5=4/5$ avant le retour.
• Au retour, il consomme $2/3$ de la contenance (telle que donnée dans l’énoncé), donc la quantité restante se calcule en appliquant cette fraction au total concerné.
• Pour reconnaître si un nombre est décimal, on teste si la fraction correspond à une écriture décimale finie.
• Exemples à traiter : $7/5$ et $-1/9$ sont à classer comme décimaux ou non décimaux selon leur écriture décimale.

💡 Astuce mémo

Consommé = partie, donc Restant = total − consommé.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “rationnel” et “décimal” : un rationnel comme $11/3$ n’est pas décimal.
2. Croire qu’on peut simplifier sans facteur commun : la simplification doit venir d’une divisibilité réelle.
3. Multiplier seulement le numérateur ou seulement le dénominateur : pour garder l’égalité, il faut agir sur les deux.
4. Se tromper dans un problème de fractions en oubliant que le restant se calcule avec une soustraction (ou un produit selon l’énoncé).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’un nombre rationnel sous la forme $a/b$ avec $b\neq 0$.
2. Reconnaître qu’un entier relatif est un rationnel (exemple $-7=-7/1$).
3. Transformer une fraction en fraction équivalente en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul.
4. Simplifier une fraction en utilisant des factorisations (exemples $25/40=5/8$ et $6/4=3/2$).
5. Résoudre un problème de consommation en calculant la fraction restante à partir des fractions consommées.
6. Indiquer si une fraction donnée est décimale, notamment pour $7/5$ et $-1/9$.