Vérifier f(0)=1 et f'=f
Erklärung
La fonction exponentielle est définie par la condition initiale f(0)=1 et l’équation différentielle f'=f. Les autres propositions décrivent des comportements incompatibles avec cette caractérisation.
Parce que leur quotient est constant et vaut 1 en 0
Erklärung
En posant h=1/g, on obtient h'=0, donc h est constante, et comme h(0)=1, on en déduit h=1 puis g=f. Ce raisonnement montre l’unicité de la fonction vérifiant ces conditions.
La fonction ne s’annule jamais
Erklärung
Si f(-x)f(x)=1, alors f(x) ne peut jamais être nul, sinon le produit serait nul. Cela exclut toute annulation sur le domaine.
Elle est croissante
Erklärung
Le signe positif de la dérivée indique que la fonction augmente lorsque x augmente. La positivité de f n’est pas ce qui détermine la croissance, mais le texte associe ici f'(x)>0 à une fonction croissante.
e^{x+y}=e^x\times e^y
Erklärung
La somme des exposants correspond à un produit : e^{x+y}=e^x\times e^y. La division correspond au cas x-y, pas à la somme.
e^{nx}
Erklärung
La règle donnée est (e^x)^n=e^{nx}. Elle traduit la compatibilité entre puissance et multiplication des exposants.
\|u\|\,\|v\|\cos(u,v)
Erklärung
Le produit scalaire s’écrit norme du premier × norme du second × cosinus de l’angle. Le sinus intervient dans d’autres contextes, pas dans cette formule.
Quand les vecteurs sont orthogonaux
Erklärung
Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul. C’est une propriété fondamentale du produit scalaire.
y=mx+p
Erklärung
L’équation réduite d’une droite non verticale est y=mx+p, où m est la pente et p l’ordonnée à l’origine. La forme ax+by+c=0 est cartésienne.
Un vecteur de coordonnées (a,b)
Erklärung
Dans une équation cartésienne ax+by+c=0, le vecteur normal est donné par les coefficients de x et y, donc (a,b). Un vecteur directeur est, lui, orthogonal à ce normal.
Les points M vérifient \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0
Erklärung
Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{BM} sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul. C’est la propriété de l’angle droit dans le cercle de diamètre.
En imposant \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0
Erklärung
Une droite de vecteur normal n est décrite par l’orthogonalité entre n et tout vecteur de la droite, ce qui s’écrit \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0. Cela conduit à une équation de la forme ax+by+c=0.
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Fonction exponentielle — définition ?
Solution de $f'=f$ avec $f(0)=1$.
Signe de f — propriété ?
Positive partout si $f(-x)f(x)=1$.
Règle $e^{x+y}$ — identité ?
$e^{x+y}=e^x imes e^y$.
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