Que doit-on faire avant d'utiliser un objet mathématique ?
Il faut déclarer l'objet mathématique en précisant sa nature.
Comment doit être rédigée une démonstration mathématique ?
Elle doit être rédigée en phrases complètes.
Que ne doit-on pas utiliser comme abréviations dans une démonstration ?
Les quantificateurs et les symboles d’implication et d’équivalence.
Que signifie le quantificateur universel ∀ ?
Il signifie « pour tout ».
Que signifie le quantificateur existentiel ∃ ?
Il signifie « il existe ».
Qu'indique la convergence d'une suite réelle vers zéro ?
Pour tout ε>0, il existe un N tel que pour tout n≥N, |u_n|≤ε.
Quelles sont les deux étapes pour démontrer une propriété par récurrence ?
L'initialisation et l'hérédité.
Que faut-il montrer pour prouver l'hérédité en récurrence ?
Que P_n entraîne P_{n+1}.
Par quoi commence une récurrence sur les entiers naturels non nuls ?
Par la vérification de P_1.
Quelle somme est égale à \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) pour tout entier naturel non nul ?
La somme des carrés de 1^2 à n^2.
Qu'est-ce qu'une récurrence forte ?
Une démonstration de P_{n+1} en supposant vraies toutes P_0 à P_n.
Qu'impose un raisonnement par l'absurde au début ?
La négation de la propriété à établir.
Que montre la preuve de l'irrationalité de √2 sur p et q ?
Que p et q sont tous deux pairs.
Quelle est la première étape d'un raisonnement par analyse-synthèse ?
Déterminer les propriétés nécessaires d'une solution éventuelle.
Quelle est la deuxième étape d'un raisonnement par analyse-synthèse ?
Vérifier quelles solutions candidates satisfont le problème initial.
Comment se décompose toute fonction réelle f ?
En une fonction paire et une fonction impaire de manière unique.
Quelle est la formule de la fonction paire p(x) associée à f ?
p(x) = (f(x) + f(-x)) / 2.
Quelles fonctions dérivables vérifient f(x+y) = f(x) + f(y) ?
Les fonctions linéaires f(x) = ax avec a réel.
Quelle est la formule de la somme des entiers de 1 à n ?
La somme vaut n(n+1)/2.
Quelle formule donne la somme géométrique pour a≠1 ?
La somme est (a^(n+1)-1)/(a-1).
Qu'est-ce qu'une somme télescopique ?
C'est une somme où a_n = b_{n+1} - b_n et la somme vaut b_{n+1} - b_0.
Quelle est la valeur de la somme ∑_{k=1}^n 1/(k(k+1)) ?
Cette somme vaut 1 - 1/(n+1).
Vers quelle valeur tend la somme ∑_{k=1}^n 1/(k(k+1)) quand n→+∞ ?
Elle tend vers 1.
Comment est définie la factorielle pour n≥1 ?
n! = 1 × 2 × ... × n.
Quelle est la valeur conventionnelle de 0! ?
Par convention, 0! = 1.
Quelle formule exprime les coefficients binomiaux ?
Ils sont donnés par n!/(m!(n-m)!).
Quelle est la formule de cos(x+y) en trigonométrie ?
cos(x+y)=cos x cos y - sin x sin y.
Quelle est la formule de sin(x+y) en trigonométrie ?
sin(x+y)=sin x cos y + sin y cos x.
Quelle est la formule de cos(2x) en trigonométrie ?
cos(2x)=2 cos² x - 1 = 1 - 2 sin² x.
Quelle est la formule de sin(2x) en trigonométrie ?
sin(2x)=2 sin x cos x.
Comment s'écrit la forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul ?
z = r e^{iθ} avec r > 0 et θ réel.
Quelle relation lie le module et le conjugué d'un nombre complexe z ?
|z|² = z × conjugué de z.
Que comprend le programme étudié sur les nombres complexes ?
La représentation géométrique et la résolution d'équations du second degré à coefficients réels.
Quelles règles faut-il maîtriser pour manipuler une inégalité ?
Les règles de signe et la factorisation.
Quelle inégalité donne la moyenne géométrique et arithmétique pour x,y≥0 ?
√(xy) ≤ (x+y)/2.
Comment se calcule le discriminant d'un trinôme ax²+bx+c ?
Δ = b² - 4ac.
Que signifie un discriminant nul pour un trinôme ?
Il possède une racine réelle double -b/(2a).
Que signifie un discriminant positif pour un trinôme ?
Il a deux racines réelles distinctes.
Que signifie un discriminant négatif pour un trinôme ?
Il a deux racines complexes conjuguées non réelles.
Quelle relation existe entre les racines x₁,x₂ et les coefficients d'un trinôme ?
x₁+x₂ = -b/a et x₁x₂ = c/a.
Comment est le signe d'un trinôme quand a>0 et Δ>0 ?
Positif hors des racines, négatif entre elles.
Quelle est la somme des racines d'un trinôme ?
La somme est - rac{b}{a}.
Quel est le produit des racines d'un trinôme ?
Le produit est rac{c}{a}.
Que signifie pour les racines réelles du trinôme ?
Les racines réelles ont le même signe.
Quel est le signe commun des racines si ?
Le signe commun est celui de .
Que déduit-on si pour les racines du trinôme ?
Les racines réelles sont de signes opposés.
Que vaut le trinôme si et ?
Il est strictement positif sauf en ses racines où il s'annule.
Comment est le trinôme si et ?
Il est strictement positif sur tout .
Comment se comporte le trinôme si et ?
Il est positif partout et s'annule en une racine double.
Quelle est la formule de la dérivée d'une composée g∘f ?
(g∘f)'(x) = g'(f(x)) × f'(x).
Quelle formule donne la dérivée d'un produit uv ?
(uv)' = u'v + uv'.
Quelle formule donne la dérivée d'un quotient u/v ?
(u/v)' = (u'v - uv') / v².
Quelles fonctions usuelles peut-on dériver grâce aux dérivées composées ?
Les polynômes, racine carrée, logarithme, exponentielle et trigonométriques.
Que représente f′(a) lorsque f est dérivable ?
La pente de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a.
Quelle est l'équation de la tangente au graphe de f au point a ?
y = f(a) + f'(a)(x - a).
Quelle formule donne la méthode de Newton pour xₙ+1 ?
xₙ+1 = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ).
Quelle étape suit la détermination du signe de la dérivée d'une fonction ?
On en déduit les variations de la fonction.
Comment utilise-t-on le tableau de variations pour l'équation f(x)=λ ?
Il sert à compter et positionner les solutions de f(x)=λ.
Sur quels intervalles la fonction f(x)=x⁵−5x est-elle strictement croissante ?
Elle est strictement croissante sur ]−∞,−1] et [1,+∞[.
Sur quel intervalle la fonction f(x)=x⁵−5x est-elle strictement décroissante ?
Elle est strictement décroissante sur [−1,1].
Quelle est la formule de la suite de Newton pour la racine carrée de a>0 ?
u_{n+1} = ½ (u_n + a/u_n).
Vers quelle valeur converge la suite de Newton pour la racine carrée ?
Elle converge vers √a.
Quelle est l'inégalité exponentielle fondamentale pour tout réel x ?
e^x ≥ x + 1.
Quand l'égalité e^x = x + 1 est-elle vérifiée ?
Uniquement si x = 0.
Quelles méthodes peut-on utiliser pour calculer une limite à l'infini ?
On peut utiliser opérations sur limites, encadrement, taux de variation, croissances comparées, factorisation, forme exponentielle.
Quelle est la limite de P(x)/Q(x) en +∞ si deg(Q) > deg(P) ?
La limite vaut 0.
Que vaut la limite de P(x)/Q(x) en +∞ si deg(P) = deg(Q) ?
La limite vaut le rapport des coefficients dominants aₚ/b_q.
Que donne la définition de la dérivée en termes de limite ?
Le quotient (f(x)-f(a))/(x-a) tend vers f'(a) quand x tend vers a.
Quelle est la limite de (e^x - 1)/x quand x tend vers 0 ?
Cette limite vaut 1.
Quelle est la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 ?
Cette limite vaut 1.
La fonction sin(1/x) a-t-elle une limite en 0 ?
Non, elle n'a pas de limite en 0.
Quelle est la limite de sin(1/x) quand x tend vers +∞ ?
La limite vaut 0.
Qu'est-ce qu'une primitive F d'une fonction f sur un intervalle ?
F vérifie F′=f sur cet intervalle.
Quelle fonction est une primitive de f si f est continue ?
La fonction x↦∫_a^x f(t) dt est une primitive de f.
Quelle est la primitive de x^α sur R₊* pour α≠−1 ?
C'est (x^(α+1))/(α+1)+C.
Quelle est la primitive de 1/x sur R₊* ?
C'est ln(x)+C.
Comment s'exprime la linéarité de l'intégrale pour f et g ?
∫_a^b (f+g) = ∫_a^b f + ∫_a^b g.
Comment s'exprime la linéarité de l'intégrale pour λ et f ?
∫_a^b λf = λ ∫_a^b f.
Quelle inégalité relie ∫_a^b f(t) dt et ∫_a^b g(t) dt si f(t) ≤ g(t) sur [a,b] ?
Alors ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.
Quelle est la forme intégrale de l'inégalité triangulaire ?
|∫_a^b f(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(t)| dt.
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1. Dans quel ordre faut-il introduire et utiliser un objet mathématique dans une démonstration ?
2. Quelle rédaction respecte les règles formelles d’une démonstration mathématique ?
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