Lernzettel: Probabilités en tirages successifs

📋 Plan du Cours

1. Expérience à plusieurs étapes avec remise
2. Expérience à plusieurs étapes sans remise

📖 1. Expérience à plusieurs étapes avec remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire à plusieurs étapes : Expérience où l’on réalise plusieurs tirages successifs en suivant une règle aléatoire à chaque étape.
• Remise : Action de remettre l’élément tiré avant l’étape suivante afin que les probabilités restent identiques à chaque tirage.

📝 Points essentiels

• Avec remise, le résultat d’une étape ne modifie pas le contenu du sac, donc les probabilités de l’étape suivante sont les mêmes.
• Pour tirer 2 billes bleues successivement avec remise dans un sac de 2 bleues, 3 rouges, 1 jaune : $P(\text{bleue puis bleue})=\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
• La probabilité de deux événements consécutifs s’obtient ici par produit des probabilités de chaque étape quand elles sont inchangées.

💡 Astuce mémo

Remise = même sac à chaque étape, donc mêmes probabilités, produit direct.

📖 2. Expérience à plusieurs étapes sans remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Sans remise : Procédure où l’élément tiré n’est pas remis, ce qui change le contenu du sac et donc les probabilités de l’étape suivante.
• Dépendance des étapes : Situation où le résultat de l’étape courante influence les probabilités des étapes suivantes car l’état du système a changé.

📝 Points essentiels

• Sans remise, le tirage précédent modifie le nombre de billes restantes, donc $P(\text{bleue})$ à l’étape suivante n’est plus identique.
• Pour tirer successivement 2 billes bleues sans remise dans un sac de 2 bleues, 3 rouges, 1 jaune : $P(\text{bleue puis bleue})=\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$.
• On calcule en multipliant les probabilités conditionnelles : la 2e étape utilise un sac réduit (ici $5$ billes au total).

💡 Astuce mémo

Sans remise = sac rétréci, donc la 2e probabilité de bleue baisse après un premier tirage bleu.

📊 Tableaux de synthèse

Avec vs sans remise pour 2 bleues

Situation	Probabilité 1er tirage	Probabilité 2e tirage	Résultat
Avec remise	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{9}$
Sans remise	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier que sans remise, le dénominateur change : on passe de 6 billes au total à 5 billes après un tirage.
2. Multiplier deux probabilités comme si elles étaient identiques alors que sans remise les étapes deviennent dépendantes.
3. Confondre le cas avec remise ($\frac{2}{6}\times\frac{2}{6}$) et le cas sans remise ($\frac{2}{6}\times\frac{1}{5}$).
4. Prendre la probabilité du 2e tirage en utilisant 6 au lieu de 5 après avoir retiré une bille.
5. Écrire la probabilité finale sans simplifier correctement : $\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$ et $\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$.
6. Se tromper sur le numérateur du 2e tirage sans remise : il reste 1 bille bleue après avoir tiré la première bleue.

✅ Checklist Examen

1. Définir une expérience aléatoire à plusieurs étapes.
2. Savoir que la remise rend les probabilités identiques d’une étape à l’autre.
3. Savoir calculer $P(\text{bleue puis bleue})$ avec remise pour le sac donné et obtenir $\frac{1}{9}$.
4. Savoir que sans remise, les étapes deviennent dépendantes car le sac change.
5. Savoir calculer $P(\text{bleue puis bleue})$ sans remise pour le sac donné et obtenir $\frac{1}{15}$.
6. Choisir le bon dénominateur au 2e tirage : 6 avec remise, 5 sans remise.
7. Utiliser un produit de probabilités adaptées : produit simple quand les probabilités restent identiques, produit de probabilités conditionnelles quand elles changent.