Lernzettel: Propriétés et limites des suites et ensembles

1. 📌 L'essentiel

• Parties majorées/minorées : A est bornée si ∃, ∈ ℝ, avec ∀x ∈ A, m ≤ x ≤ M.
• Plus grand / plus petit : éléments maximaux / minimaux, si présents, sont uniques.
• Sup / inf : borne supérieure / inférieure, toujours existantes si A est bornée.
• Convergence d'une suite : (un) → l si ∀ε > 0, ∃N, n ≥ N ⇒ |un − l| ≤ ε.
• Suites bornées : toute suite convergente est bornée (Théorème de Bolzano-Weierstrass).
• Valeurs d’adhérence : limites potentielles d’une suite, si elle ne converge pas.
• Sous-suite : extraction d’une suite convergente ou tendant vers +∞ ou −∞.
• Comparaison : O, o, et équivalence entre suites.
• Suites monotones : croissantes ou décroissantes, convergent si bornées.
• Théorème clé : suite bornée possède une sous-suite convergente.

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Ensemble borné : possède une borne supérieure et inférieure.
• Plus grand / plus petit : éléments maximaux / minimaux.
• Borne supérieure (sup A) : plus petit majorant.
• Borne inférieure (inf A) : plus grand minorant.
• Suite : application de ℕ dans ℝ.
• Limite d’une suite : valeur unique si elle existe.
• Valeur d’adhérence : limite de sous-suite.
• Sous-suite : suite extraite par une fonction croissante φ.
• Comparaison (O, o) : mesures de croissance relative.
• Suite de croissance : exponentielle, polynomiale, logarithmique.

3. 🔬 Fonctions, Mécanismes & Relations

• Convergence : dépend de la proximité avec la limite.
• Bornée + convergente : suite compacte dans ℝ.
• Valeurs d’adhérence : ensemble fini ou dénombrable.
• Extraction de sous-suite : permet de contourner la non-convergence.
• Comparaison : permet de classer la croissance.
• Suite monotone + bornée : convergence assurée.
• Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite bornée admet une sous-suite convergente.
• Relation limite / croissance : exponentielle domine polynôme, etc.

4. 📊 Tableau comparatif : Suites bornées et monotones

5. 🗂️ Diagramme Hiérarchique

Suite
 ├─ Bornée
 │    ├─ Monotone croissante
 │    │    └─ Limite = sup
 │    └─ Monotone décroissante
 │         └─ Limite = inf
 └─ Non bornée
      ├─ Croissante → +∞
      └─ Décroissante → -∞

6. ⚠️ Pièges & Confusions fréquentes

• Confondre plus grand et borne supérieure.
• Croire qu’une suite bornée doit converger (elle peut osciller).
• Confondre limite et valeur d’adhérence.
• Oublier que la convergence implique la suite est bornée.
• Confusion entre suite monotone et suite bornée.
• Penser que toute suite a une limite (seules celles bornées et monotones convergent).
• Confondre O et o dans la comparaison.
• Ignorer l’existence de plusieurs valeurs d’adhérence pour une suite non convergente.

7. ✅ Checklist Examen Final

• Définir et distinguer bornée, majorée, minorée.
• Connaître la définition et propriété des bornes sup et inf.
• Savoir déterminer si une suite est monotone, bornée, ou non.
• Connaître le théorème de Bolzano-Weierstrass.
• Savoir calculer ou estimer la limite d’une suite.
• Comprendre la différence entre limite et valeur d’adhérence.
• Savoir extraire une sous-suite convergente.
• Maîtriser les notations O, o, ∼.
• Connaître les comportements asymptotiques (exponentiel, polynomial, logarithmique).
• Être capable de comparer la croissance de deux suites.
• Savoir utiliser le critère de convergence pour suites monotones.
• Identifier la limite d’une suite monotone bornée.
• Analyser une suite oscillante avec plusieurs valeurs d’adhérence.
• Appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass pour prouver l’existence d’une sous-suite convergente.

Ce résumé synthétique facilite la révision ciblée pour l’examen, en insistant sur les concepts clés, propriétés essentielles, et pièges à éviter.