Lernzettel: Suites géométriques et modélisation exponentielle

📋 Plan du Cours

1. Suites géométriques et récurrence
2. Forme explicite des suites géométriques
3. Variation des suites géométriques
4. Fonctions exponentielles
5. Modélisation exponentielle

📖 1. Suites géométriques et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q appelée raison.
• Relation de récurrence : Écriture reliant u(n+1) à u(n) pour calculer les termes successifs à partir du précédent.
• Raison q : Constante qui mesure le facteur multiplicatif entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• Si u est géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n : u(n+1)=u(n)·q.
• Dans l’exercice, une croissance de 5% correspond à un facteur 1,05 entre deux années consécutives.
• En notant c(n) le chiffre d’affaires de l’année 2022+n, on a c(n+1)=c(n)·1,05.
• Le terme c(10) représente le chiffre d’affaires de l’année 2032 (2022+10).

💡 Astuce mémo

Croissance de 5% ⇒ facteur 1,05 (on multiplie).

📖 2. Forme explicite des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : Expression directe de u(n) en fonction du premier terme et de la raison, sans calculer tous les termes précédents.
• Premier terme u(0) : Valeur initiale de la suite géométrique servant de base pour calculer tous les termes.

📝 Points essentiels

• Si u est géométrique de raison q et de premier terme u(0), alors pour tout n : u(n)=u(0)·q^n.
• Dans l’exemple, si c(0)=500000 (année 2022) et q=1,05, alors c(n)=500000·1,05^n.
• Pour l’exercice, c(1)=500000·1,05 et c(2)=500000·1,05^2 (ce qui donne respectivement 525000 et 551250).

💡 Astuce mémo

u(n)=u(0)·q^n : on élève la raison à la puissance n.

📖 3. Variation des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite strictement croissante : Suite dont chaque terme est strictement supérieur au précédent.
• Suite constante : Suite dont tous les termes ont la même valeur.
• Suite strictement décroissante : Suite dont chaque terme est strictement inférieur au précédent.

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique de raison q avec u(0)>0 : si q>1, alors la suite est strictement croissante.
• Toujours avec u(0)>0 : si q=1, alors la suite est constante.
• Toujours avec u(0)>0 : si q<1, alors la suite est strictement décroissante.
• Avec q=0,5 et u(0)=6 (exercice 1.2), la suite décroît car la raison est inférieure à 1.

💡 Astuce mémo

q>1 monte ; q=1 plat ; q<1 descend (avec u(0)>0).

📖 4. Fonctions exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction qui s’écrit f(x)=a^x avec un réel a>0.
• Base a : Réel a>0 qui détermine la forme de la fonction exponentielle f(x)=a^x.

📝 Points essentiels

• Une fonction f est exponentielle s’il existe a>0 tel que, pour tout x dans l’intervalle indiqué, f(x)=a^x.
• Dans la fonction f(x)=1,2^x, la base vaut a=1,2.
• La représentation d’une fonction (ici f) se fait par un nuage de points de coordonnées (x,f(x)), non alignés sur une droite.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : base a positive, expression a^x.

📖 5. Modélisation exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Modélisation discrète : Utilisation de suites pour représenter l’évolution d’un phénomène à intervalles réguliers (par années, par mois, etc.).
• Croissance exponentielle : Évolution où l’augmentation se fait par un facteur multiplicatif constant à chaque étape.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique permet de modéliser un phénomène discret à croissance (ou décroissance) exponentielle.
• Dans l’exercice du CA, l’augmentation annuelle de 5% est une modélisation géométrique : on multiplie chaque année par 1,05.
• Si c(n) est le CA en 2022+n, alors le calcul d’une année suivante revient à multiplier le précédent par 1,05 (ex. passage à 2023 puis 2024).

💡 Astuce mémo

Suite géométrique ↔ phénomène discret : on multiplie par un facteur fixe à chaque pas.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
2022	Chiffre d’affaires initial c(0)=500 000 F
2023	Année 2022+1, premier calcul avec facteur 1,05
2024	Année 2022+2, second calcul avec facteur 1,05^2
2026	Année 2022+4 (dans l’exercice) calculée après 2025
2032	Année 2022+10, valeur représentée par c(10)

📊 Tableaux de synthèse

Variation selon la raison q

Condition sur q	Nature de la suite	Conclusion pour la variation
q>1	u(0)>0	Suite strictement croissante
q=1	u(0)>0	Suite constante
q<1	u(0)>0	Suite strictement décroissante

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre croissance de 5% avec addition : on multiplie par 1,05, pas par 5 000.
2. Prendre le mauvais indice : si c(n) correspond à l’année 2022+n, alors c(1) est l’année 2023.
3. Oublier la puissance dans la forme explicite : u(n)=u(0)·q^n, pas u(n)=u(0)·q.
4. Se tromper de sens quand q<1 : une raison inférieure à 1 produit une décroissance.
5. Penser que la propriété de variation fonctionne sans condition : elle est donnée pour u(0)>0.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la relation de récurrence d’une suite géométrique : u(n+1)=u(n)·q.
2. Savoir interpréter le paramètre q comme facteur multiplicatif entre deux termes consécutifs.
3. Savoir associer correctement un indice à une année (ici l’année 2022+n correspond à c(n)).
4. Savoir utiliser la croissance en pourcentage pour trouver le facteur multiplicatif (5% ⇒ 1,05).
5. Savoir calculer c(1) et c(2) à partir de c(0) et de q.
6. Savoir reconnaître et utiliser la forme explicite u(n)=u(0)·q^n.
7. Savoir déterminer la variation d’une suite géométrique à partir du signe de (q−1) avec u(0)>0.
8. Savoir caractériser une fonction exponentielle sous la forme f(x)=a^x avec a>0.
9. Savoir lire la base a dans une écriture comme f(x)=1,2^x.
10. Savoir expliquer en une phrase comment une suite géométrique modélise un phénomène discret à croissance ou décroissance exponentielle.