Lernzettel: Suites réelles et limites

📋 Plan du Cours

1. Bornes des suites réelles
2. Limite finie et convergence
3. Limites infinies et sous-suites
4. Opérations sur les limites
5. Inégalités et théorèmes de comparaison
6. Suites monotones et adjacentes
7. Suites définies par récurrence
8. Théorème des croissances comparées
9. Équivalence des suites
10. Équivalents usuels au voisinage de zéro

📖 1. Bornes des suites réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite minorée : s’il existe un réel m tel que, pour tout n, $m\le u_n$
• Suite majorée : s’il existe un réel M tel que, pour tout n, $u_n\le M$
• Suite bornée : à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire lorsqu’il existe m et M tels que, pour tout n, $m\le u_n\le M$

★ À maîtriser

📌 Une suite réelle est bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée.

Compléments

• La suite $((-1)^n)$ est bornée car, pour tout n, $-1\le(-1)^n\le1$.

💡 Astuce mémo

Minorée : plancher ; majorée : plafond ; bornée : plancher et plafond

📖 2. Limite finie et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence : si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe n_0 tel que, pour tout $n\ge n_0$, $|u_n-l|\le\varepsilon$

★ À maîtriser

📌 Toute suite convergente admet une limite finie unique et est bornée.

Compléments

• La suite définie par $u_n=3-\frac1n$ converge vers 3, car $\left|u_n-3\right|=\frac1n\le\varepsilon$ dès que $n\ge\frac1\varepsilon$.

💡 Astuce mémo

Les termes se resserrent dans l’intervalle [l − ε, l + ε]

📖 3. Limites infinies et sous-suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : si, pour tout réel A, il existe n_0 tel que, pour tout $n\ge n_0$, $u_n\ge A$

📝 Points essentiels

📌 Une suite diverge vers −∞ si et seulement si la suite opposée $(-u_n)$ diverge vers +∞.

📌 Une suite converge vers l si et seulement si ses suites d’indices pairs $u_{2n}$ et impairs $u_{2n+1}$ convergent toutes deux vers l.

💡 Astuce mémo

Diverger vers ±∞ n’est pas diverger sans limite : (−1)^n oscille

📖 4. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 Si deux suites ont des limites finies ou infinies compatibles, leurs somme, différence, produit ou quotient suivent les règles de calcul des limites, sauf dans les formes indéterminées.

Compléments

• Pour calculer la limite de $u_n=\frac{2n^3-5n+1}{n^3+6n^2+8}$, on factorise par $n^3$ au numérateur et au dénominateur, puis on obtient la limite $2$.

📖 5. Inégalités et théorèmes de comparaison

★ À maîtriser

📌 Si $v_n\ge u_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$; de même, si $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

📌 Si $u_n\le v_n\le w_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ convergent vers le même réel l, alors $v_n\to l$.

Compléments

• La suite $u_n=n+\cos(n)$ diverge vers +∞ car $u_n\ge n-1$ et $n-1\to+\infty$.

💡 Astuce mémo

Les gendarmes encadrent la suite entre deux limites identiques

📖 6. Suites monotones et adjacentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : lorsque la première est croissante, la seconde décroissante et que $v_n-u_n\to0$

📝 Points essentiels

📌 Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge; une suite croissante non majorée diverge vers +∞ et une suite décroissante non minorée diverge vers −∞.

📌 Deux suites adjacentes convergent vers un même réel l.

💡 Astuce mémo

Croissante majorée ou décroissante minorée : convergence ; adjacentes : même limite

📖 7. Suites définies par récurrence

★ À maîtriser

• Pour étudier une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, on vérifie qu’elle est bien définie, on établit un intervalle stable, on démontre sa monotonie et sa bornitude, puis on détermine sa limite comme point fixe de f.

Compléments

• Pour la suite $u_0=2$ et $u_{n+1}=\ln(u_n+1)$, on montre que $0\le u_{n+1}\le u_n$; elle converge donc vers 0, unique solution de $\ln(1+x)=x$ sur $[0,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Domaine → intervalle stable → monotonie → bornes → limite → point fixe

📖 8. Théorème des croissances comparées

★ À maîtriser

📌 Pour $a>1$ et $\alpha>0$, les croissances vérifient $\ln(n)\ll n^\alpha\ll a^n\ll n!$ lorsque n tend vers +∞.

📐 Formule — Pour $a>1$ et $\alpha>0$, on a $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n)}{n^\alpha}=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac{a^n}{n^\alpha}=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac{n!}{a^n}=+\infty$.

Compléments

• La suite $\frac{n^{100}}{3^n}$ converge vers 0, car toute puissance est dominée par une exponentielle de base strictement supérieure à 1.

💡 Astuce mémo

À l’infini : logarithme, puissance, exponentielle, factorielle

📖 9. Équivalence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites équivalentes : qui ne s’annulent pas à partir d’un certain rang sont équivalentes lorsque $\frac{u_n}{v_n}\to1$, ce que l’on note $u_n\sim v_n$

★ À maîtriser

📌 Si $u_n\sim v_n$ et si $u_n$ tend vers l dans $\mathbb R\cup\{-\infty,+\infty\}$, alors $v_n$ tend aussi vers l.

Compléments

📌 L’équivalence est réflexive, symétrique et transitive; elle est conservée par multiplication, division, valeurs absolues et puissances autorisées.

• On a $\sqrt{n^2-3n+4}\sim n$ et $2n+3\sim2n$, donc $\frac{\sqrt{n^2-3n+4}}{2n+3}\sim\frac12$.

💡 Astuce mémo

Équivalents se multiplient et se divisent, mais ne s’additionnent ni ne se composent

📖 10. Équivalents usuels au voisinage de zéro

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $u_n\to0$, ne s’annule pas à partir d’un certain rang et si $\alpha\ne0$, alors $(1+u_n)^\alpha-1\sim\alpha u_n$, en particulier $\sqrt{1+u_n}-1\sim\frac{u_n}{2}$.

• Comme $\ln(1+1/n)\sim1/n$, la suite $n\ln(1+1/n)$ converge vers 1.

📊 Tableaux de synthèse

Bornes et conséquences

Notion	Condition	Conséquence
Minorée	Il existe m avec $m\le u_n$	La suite possède un plancher
Majorée	Il existe M avec $u_n\le M$	La suite possède un plafond
Bornée	Elle est minorée et majorée	Les termes restent dans un intervalle fini
Convergente	Elle admet une limite finie	Elle est nécessairement bornée