Lernzettel: Trigonométrie et Substitutions Intégrales

📋 Plan du Cours

1. Rapports SOH CAH TOA
2. Identités trigonométriques fondamentales
3. Dérivées des fonctions trigonométriques
4. Substitutions pour intégrales trigonométriques

📖 1. Rapports SOH CAH TOA

🔑 Notions clés & Définitions

• sin : Fonction trigonométrique définie comme le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
• cos : Fonction trigonométrique définie comme le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
• tan : Fonction trigonométrique définie comme le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent dans un triangle rectangle.
• csc sec cot : Fonctions trigonométriques réciproques définies à partir de sin, cos et tan.

📝 Points essentiels

• sin(teta)=opp/hypo, cos(teta)=adj/hypo et tan(teta)=opp/adj pour un angle teta d’un triangle rectangle.
• csc(teta)=1/sin(teta)=hypo/opp, sec(teta)=1/cos(teta)=hypo/adj et cot(teta)=1/tan(teta)=adj/opp.
• tan(teta)=sin(teta)/cos(teta) relie tan aux deux autres fonctions.
• Les rapports SOH CAH TOA servent de base pour retrouver les réciproques csc, sec et cot.
• Les définitions réciproques imposent que sin, cos et tan ne soient pas nuls pour utiliser csc, sec et cot.

💡 Astuce mémo

SOH CAH TOA : sin=Opp/Hypo, cos=Adj/Hypo, tan=Opp/Adj ; puis csc/sec/cot sont les inverses.

📖 2. Identités trigonométriques fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité de Pythagore trigonométrique : Identité reliant sin et cos qui exprime que leur somme des carrés vaut 1 pour tout angle teta.
• Identité de tan et sec : Identité reliant tan et sec qui exprime que 1+tan^2(teta)=sec^2(teta) pour tout angle teta.

📝 Points essentiels

• sin^2(teta)+cos^2(teta)=1 relie directement les carrés de sin et cos.
• 1+tan^2(teta)=sec^2(teta) transforme une expression en carrés de tan vers sec.
• tan(teta)=sin(teta)/cos(teta) permet de passer de tan à sin et cos.
• Les identités sont cohérentes avec les définitions réciproques : sec^2(teta) correspond à 1/cos^2(teta).
• Ces identités sont valables pour tout angle teta pour lequel les expressions sont définies (notamment cos(teta)≠0 quand on utilise sec).

💡 Astuce mémo

Pythagore : sin²+cos²=1 ; puis “sec” : sec²=1+tan².

📖 3. Dérivées des fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• dérivée de tan : Règle de dérivation donnant la dérivée de tan(teta) en fonction de sec(teta).
• dérivée de cot : Règle de dérivation donnant la dérivée de cot(teta) en fonction de csc(teta).
• dérivée de csc : Règle de dérivation donnant la dérivée de csc(teta) en fonction de csc(teta) et tan(teta).
• dérivée de sec : Règle de dérivation donnant la dérivée de sec(teta) en fonction de sec(teta) et tan(teta).

📝 Points essentiels

• tan’(teta)=sec^2(teta) : la dérivée de tan est un carré de sec.
• cot’(teta)=-csc^2(teta) : la dérivée de cot est négative et vaut le carré de csc.
• csc’(teta)=-csc(teta)tan(teta) : la dérivée de csc combine csc et tan avec un signe moins.
• sec’(teta)=sec(teta)tan(teta) : la dérivée de sec combine sec et tan sans signe moins.
• Les formules expriment toujours la dérivée en termes de fonctions trigonométriques elles-mêmes (pas de conversion en sin/cos nécessaire).

💡 Astuce mémo

Carrés pour tan/cot : tan’=sec², cot’=-csc² ; produits pour csc/sec : csc’=-csc·tan, sec’=sec·tan.

📖 4. Substitutions pour intégrales trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• substitution x=a*sin(teta) : Substitution trigonométrique utilisée quand l’intégrande contient une racine de la forme sqrt(a^2-x^2).
• substitution x=a*tan(teta) : Substitution trigonométrique utilisée quand l’intégrande contient une racine de la forme sqrt(a^2+x^2).
• substitution x=a*csc(teta) : Substitution trigonométrique utilisée quand l’intégrande contient une racine de la forme sqrt(x^2-a^2).

📝 Points essentiels

• Si on rencontre sqrt(a^2-x^2), poser x=a*sin(teta) pour simplifier l’expression sous la racine.
• Si on rencontre sqrt(a^2+x^2), poser x=a*tan(teta) pour transformer la racine en une forme trigonométrique.
• Si on rencontre sqrt(x^2-a^2), poser x=a*csc(teta) pour traiter la racine de la différence de carrés.
• Les trois substitutions sont choisies uniquement selon le signe devant x^2 dans la racine.
• Chaque substitution associe x à une fonction trigonométrique dont le carré (ou la réciproque) apparaît naturellement dans la racine correspondante.

💡 Astuce mémo

Racine en a^2−x^2 → sin ; a^2+x^2 → tan ; x^2−a^2 → csc.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les rapports : tan(teta) n’est pas adj/hypo mais opp/adj, alors que cos(teta)=adj/hypo.
2. Oublier que csc, sec et cot sont les inverses de sin, cos et tan : leurs rapports sont donc l’hypoténuse sur le côté correspondant.
3. Se tromper de signe dans les dérivées : cot’(teta) et csc’(teta) ont un signe moins, contrairement à tan’ et sec’.
4. Choisir la mauvaise substitution selon le signe dans la racine : a^2−x^2 n’utilise pas tan, et a^2+x^2 n’utilise pas sin.
5. Utiliser sec ou csc quand cos(teta) ou sin(teta) vaut 0 : les expressions deviennent non définies.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire sin(teta), cos(teta), tan(teta) en rapports opp/adj/hypo et retrouver csc, sec, cot comme réciproques.
2. Savoir utiliser les identités sin^2(teta)+cos^2(teta)=1 et 1+tan^2(teta)=sec^2(teta.
3. Savoir donner par cœur les dérivées : tan’(teta)=sec^2(teta), cot’(teta)=-csc^2(teta), csc’(teta)=-csc(teta)tan(teta), sec’(teta)=sec(teta)tan(teta).
4. Savoir choisir la substitution trigonométrique adaptée : sqrt(a^2-x^2) → x=asin(teta), sqrt(a^2+x^2) → x=atan(teta), sqrt(x^2-a^2) → x=a*csc(teta).