Lernzettel: Variables aléatoires discrètes et lois fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Motivation et définition des variables aléatoires
2. Loi des variables aléatoires discrètes et support
3. Lois discrètes classiques de référence
4. Espérance et variance des variables discrètes
5. Couples de variables aléatoires et lois marginales
6. Indépendance et covariance des variables aléatoires

📖 1. Motivation et définition des variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction $X:\Omega\to E$ qui associe à chaque issue $\omega$ un nombre réel $X(\omega)\in E$.
• Ensemble des issues : L’ensemble des issues $\Omega$ regroupe toutes les sorties possibles de l’expérience aléatoire étudiée.

📝 Points essentiels

• On modélise un résultat numérique aléatoire (ex. nombre de faces, clients, défauts, gain) par une variable aléatoire.
• Une variable aléatoire est définie sur $\Omega$ et prend ses valeurs dans un sous-ensemble $E\subset\mathbb{R}$.
• La variable aléatoire n’est pas une variable au sens d’analyse : c’est une fonction sur les issues de l’expérience.

📖 2. Loi des variables aléatoires discrètes et support

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Une variable aléatoire discrète est une fonction $X:\Omega\to E$ qui ne prend qu’un nombre fini ou dénombrable de valeurs, ici avec $E\subset\mathbb{N}$ donc des valeurs entières.
• Support d’une variable aléatoire discrète : Le support de $X$ est l’ensemble $\mathrm{Supp}(X)=\{x\in\mathbb{R}:P(X=x)>0\}$, c’est-à-dire les valeurs réellement possibles avec probabilité non nulle.

📝 Points essentiels

• La loi d’une variable discrète est la donnée des probabilités $P(X=x)$ pour $x\in E$, avec la somme totale $\sum_{x\in E}P(X=x)=1$.
• Si $A=\{x_1,\dots,x_m\}\subset E$, alors $P(X\in A)=\sum_{i=1}^m P(X=x_i)$.
• Pour une variable discrète, $\mathrm{Supp}(X)$ est exactement l’ensemble des valeurs $x$ telles que $P(X=x)>0$.

📖 3. Lois discrètes classiques de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n essais de Bernoulli indépendants avec probabilité de succès p.
• Loi géométrique : La loi géométrique modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès dans des répétitions indépendantes de Bernoulli de paramètre p.

📝 Points essentiels

• S suit une loi binomiale B(n,p) ssi S=X1+…+Xn avec Xi indépendantes de loi de Bernoulli(p).
• Pour k∈{0,…,n}, P(S=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k} quand S=X1+…+Xn.
• Si X∼G(p) avec p∈(0,1], alors P(X=k)=(1−p)^{k−1}p pour k∈N* (premier succès au k-ième essai).

💡 Astuce mémo

Binomiale = somme de n Bernoulli ; Géométrique = attente du 1er succès.

📖 4. Espérance et variance des variables discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment d’ordre 2 : Le moment d’ordre 2 d’une variable aléatoire discrète est la quantité $E(X^2)$, qui doit être finie pour définir proprement la variance.
• Variance : La variance mesure la dispersion et se définit par $\mathrm{Var}(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$ lorsque $E(X^2)$ est finie.

📝 Points essentiels

• Si $E(X^2)<+\infty$, alors $E(X)$ est finie (via Cauchy–Schwarz).
• Si $E(X^2)<+\infty$, alors $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$.
• Pour $E(X^2)<+\infty$, on a $\mathrm{Var}(X)\ge 0$ et $\mathrm{Var}(X)=0$ ssi $X$ est constante presque sûrement.
• Pour tout $a\in\mathbb{R}$, $\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)$.
• Pour $X\sim\mathrm{Bernoulli}(p)$ : $E(X)=p$ et $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$.
• Pour $X\sim\mathrm{Binomiale}(n,p)$ : $E(X)=np$ et $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$.

💡 Astuce mémo

Variance = second moment − carré de l’espérance : $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2$.

📖 5. Couples de variables aléatoires et lois marginales

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi jointe : La loi jointe d’un couple (X,Y) est la famille des probabilités P(X=x,Y=y) pour les valeurs possibles de X et Y.
• Lois marginales : Les lois marginales sont les distributions de X seules et de Y seules obtenues en sommant la loi jointe sur l’autre variable.

📝 Points essentiels

• Pour un couple discret, la loi jointe vérifie ∑(x,y)∈Supp(X,Y) P(X=x,Y=y)=1, et ∑x∈Supp(X) P(X=x)=1 (idem pour Y).
• La loi marginale de X s’obtient par P(X=x)=∑y P(X=x,Y=y) (somme sur les y tels que la probabilité soit non nulle).
• La loi conditionnelle (discrète) vérifie P(X=x|Y=y)=P(X=x,Y=y)/P(Y=y) pour tout y avec P(Y=y)>0.

📖 6. Indépendance et covariance des variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance des variables aléatoires : Deux variables aléatoires sont indépendantes si la probabilité jointe se factorise en produit des probabilités marginales pour tout couple de valeurs.
• Covariance : La covariance mesure la dépendance linéaire entre deux variables aléatoires via l’espérance du produit des écarts à leurs moyennes.

📝 Points essentiels

• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ et la loi jointe est déterminée par les lois marginales.
• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$, mais l’inverse est faux en général.
• Formule pratique : $\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ et $\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$.

📊 Tableaux de synthèse

Lois discrètes de référence (modèles)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre variable aléatoire et variable d’analyse : ici X est une fonction X:Ω→E qui associe une valeur à chaque issue ω.
2. Oublier que pour une variable discrète, la loi est la famille P(X=x) sur les valeurs prises, et que la somme sur E vaut 1.
3. Se tromper sur le support : Supp(X) = {x : P(X=x)>0}, donc ce n’est pas forcément l’ensemble des valeurs “théoriques” annoncées.
4. Utiliser une formule de probabilité de la loi binomiale sans vérifier que c’est bien le nombre de succès sur n essais indépendants de Bernoulli(p).
5. Prendre la géométrique avec une autre convention (nombre d’échecs avant le premier succès) : le cours définit la géométrique comme le nombre d’essais jusqu’au premier succès.
6. Appliquer la variance sans condition : Var(X)=E(X^2)−E(X)^2 n’est valable que si E(X^2)<+∞.
7. Croire que Cov(X,Y)=0 implique l’indépendance : le cours dit explicitement que la réciproque est fausse en général.

✅ Checklist Examen

1. Définir une variable aléatoire comme une fonction X:Ω→E et préciser que ce n’est pas une variable au sens usuel d’analyse.
2. Donner la définition de la loi d’une variable discrète : la famille P(X=x) et la condition de normalisation Σ_{x∈E}P(X=x)=1.
3. Calculer P(X∈A) pour A={x1,…,xm} en sommant P(X=xi).
4. Définir le support Supp(X) et l’utiliser pour caractériser les valeurs avec probabilité non nulle.
5. Reconnaître et écrire la loi binomiale : P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k} et la caractérisation S=X1+…+Xn avec Xi i.i.d. Bernoulli(p).
6. Reconnaître et écrire la loi géométrique selon la convention du cours : Support(X)=N* et P(X=k)=(1−p)^{k−1}p.
7. Définir l’espérance E(X) pour une variable discrète et préciser la condition d’existence via la convergence de Σ|xi|pi.
8. Utiliser la linéarité : E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) (même sans indépendance).
9. Définir la variance Var(X)=E((X−E(X))^2) et donner la formule pratique Var(X)=E(X^2)−E(X)^2 sous E(X^2)<+∞.
10. Calculer E(X) et Var(X) pour Bernoulli(p) et Binomiale(n,p) et pour la géométrique (premier succès) : E(X)=1/p et Var(X)=(1−p)/p^2.
11. Pour un couple (X,Y), définir la loi jointe, obtenir les marginales par sommation, et écrire la loi conditionnelle P(X=x|Y=y)=P(X=x,Y=y)/P(Y=y) quand P(Y=y)>0.
12. Définir l’indépendance par factorisation P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y), puis utiliser Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) et rappeler que indépendance ⇒ Cov=0 mais Cov=0 ⇏ indépendance.