Quiz: Variables aléatoires discrètes et lois fondamentales — 12 questions

1. Quelle est la bonne définition d’une variable aléatoire ?

A. Une loi de probabilité sur les issues

B. Un ensemble de résultats possibles de l’expérience

C. Une constante réelle choisie avant l’expérience

D. Une fonction qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel

Answer: (D)

Explanation

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l’ensemble des issues et à valeurs réelles. Ce n’est ni l’ensemble des issues ni une loi de probabilité.

2. Dans quel cas modélise-t-on naturellement une variable aléatoire ?

A. Lorsqu’on décrit seulement une suite de nombres fixes

B. Lorsqu’on veut représenter un résultat numérique incertain

C. Lorsqu’on étudie uniquement une quantité déterministe

D. Lorsqu’on remplace une fonction réelle par une dérivée

Answer: (B)

Explanation

Une variable aléatoire sert à représenter numériquement un phénomène aléatoire, comme un gain ou un nombre de succès. Les autres propositions ne décrivent pas une situation aléatoire.

3. Comment définit-on le support d’une variable aléatoire discrète ?

A. L’ensemble des valeurs qui ont la plus grande probabilité

B. L’ensemble des valeurs dont la probabilité est strictement positive

C. L’ensemble de toutes les valeurs théoriquement possibles

D. L’ensemble des valeurs négatives de la variable

Answer: (B)

Explanation

Le support est précisément l’ensemble des valeurs $x$ telles que $P(X=x)>0$. Il ne coïncide pas forcément avec toutes les valeurs théoriquement envisagées.

4. Que vaut la probabilité d’un événement de la forme $X\in\{x_1,\dots,x_m\}$ pour une variable discrète ?

A. Le produit des probabilités $P(X=x_i)$ pour $i=1,\dots,m$

B. La différence entre la plus grande et la plus petite probabilité

C. La somme des probabilités $P(X=x_i)$ pour $i=1,\dots,m$

D. La moyenne des valeurs $x_i$

Answer: (C)

Explanation

Pour une variable discrète, la probabilité d’un ensemble de valeurs est la somme des probabilités des valeurs élémentaires correspondantes. Le produit ne convient pas ici.

5. Quelle situation est modélisée par une loi binomiale ?

A. Le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès

B. Le nombre de succès obtenus lors de répétitions indépendantes de Bernoulli

C. La valeur prise par une variable continue sur un intervalle

D. Le temps exact entre deux événements indépendants

Answer: (B)

Explanation

La loi binomiale compte le nombre de succès dans $n$ essais de Bernoulli indépendants de paramètre $p$. Le nombre d’essais jusqu’au premier succès relève de la loi géométrique.

6. Quelle est la forme de la loi géométrique utilisée ici ?

A. La loi d’une variable prenant seulement les valeurs 0 et 1

B. La loi du nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès

C. La loi du nombre de succès en un nombre fixé d’essais

D. La loi d’une variable dont le support est toujours fini

Answer: (B)

Explanation

Ici, la loi géométrique décrit l’attente du premier succès dans des répétitions de Bernoulli indépendantes. Ce n’est pas une loi de comptage des succès sur un nombre fixé d’essais.

7. Sous quelle condition la formule $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est-elle valable ?

A. Lorsque $E(X^2)$ est finie

B. Lorsque $E(X)$ est égale à zéro

C. Lorsque $X$ prend seulement deux valeurs

D. Lorsque $X$ est indépendante de toute autre variable

Answer: (A)

Explanation

La formule pratique de la variance est valable si le moment d’ordre 2 est fini. Sans cette condition, la variance peut ne pas être définie correctement.

8. Quelle est la variance d’une variable de Bernoulli de paramètre $p$ ?

A. $p^2$

B. $p(1-p)$

C. $p$

D. $1-p$

Answer: (B)

Explanation

Pour une variable de Bernoulli($p$), on a $E(X)=p$ et $\mathrm{Var}(X)=p(1-p)$. Cette expression est maximale pour $p=1/2$ et s’annule pour $p=0$ ou $p=1$.

9. Comment obtient-on la loi marginale de $X$ à partir de la loi jointe d’un couple $(X,Y)$ ?

A. En sommant $P(X=x,Y=y)$ sur toutes les valeurs de $y$

B. En prenant le maximum de $P(X=x,Y=y)$ sur $y$

C. En multipliant $P(X=x,Y=y)$ par $P(Y=y)$

D. En divisant $P(X=x,Y=y)$ par $P(Y=y)$ pour tout $y$

Answer: (A)

Explanation

La marginale de $X$ se déduit de la loi jointe par sommation sur la seconde variable. La division correspond à une loi conditionnelle, pas à une marginale.

10. Quelle formule donne la loi conditionnelle discrète de $X$ sachant $Y=y$ lorsque $P(Y=y)>0$ ?

A. $P(X=x\mid Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$

B. $P(X=x\mid Y=y)=P(X=x)+P(Y=y)$

C. $P(X=x\mid Y=y)=\dfrac{P(Y=y)}{P(X=x,Y=y)}$

D. $P(X=x\mid Y=y)=\dfrac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}$

Answer: (D)

Explanation

La loi conditionnelle se calcule en divisant la probabilité jointe par la probabilité de l’événement conditionnant. C’est la définition donnée pour les variables discrètes.

11. Que signifie l’indépendance de deux variables aléatoires discrètes ?

A. Elles prennent les mêmes valeurs avec la même probabilité

B. Leur somme suit nécessairement une loi binomiale

C. Leur covariance est forcément nulle et réciproquement

D. La probabilité jointe se factorise en produit des probabilités marginales

Answer: (D)

Explanation

Deux variables sont indépendantes lorsque $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ pour tous les couples de valeurs. La covariance nulle n’implique pas l’indépendance en général.

12. Quelle relation relie la covariance à l’espérance du produit ?

A. $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

B. $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X)E(Y)-E(XY)$

C. $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X+Y)-E(X)E(Y)$

D. $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X^2Y^2)$

Answer: (A)

Explanation

La covariance s’écrit comme l’espérance du produit moins le produit des espérances. Cette formule est la version pratique à retenir pour les calculs.