Quiz: Méthodes de trigonométrie — 13 questions

1. Quelle condition doit vérifier α pour que 2kπ + α soit la mesure principale d’un angle ?

A. α appartient à ]−π ; π]

B. α appartient à ]−2π ; 2π]

C. α appartient à [0 ; 2π[

D. α appartient à [−π ; π[

Answer: (A)

Explanation

La mesure principale s’obtient en écrivant l’angle sous la forme 2kπ + α, avec α appartenant à l’intervalle ]−π ; π].

2. Quelle est la mesure principale de l’angle 31π/6 ?

A. 31π/6

B. −5π/6

C. −π/6

D. 5π/6

Answer: (B)

Explanation

On écrit 31π/6 = 3(2π) − 5π/6. La mesure principale est donc −5π/6, tandis que 31π/6 est une autre mesure du même angle.

3. Quelle identité relie le carré du sinus et le carré du cosinus d’un même angle x ?

A. cos²(x) + sin²(x) = 1

B. cos²(x) − sin²(x) = 1

C. cos(x) + sin(x) = 1

D. cos²(x) + sin(x) = 1

Answer: (A)

Explanation

L’identité trigonométrique fondamentale est cos²(x) + sin²(x) = 1.

4. Sachant que cos(x) = −1/3 et que x appartient à [−π ; 0], quelle est la valeur de sin(x) ?

A. 2√2/3

B. −√2/3

C. −2√2/3

D. √8/3

Answer: (C)

Explanation

On obtient sin²(x) = 1 − 1/9 = 8/9, donc sin(x) vaut ±2√2/3. Comme x appartient à [−π ; 0], le sinus est négatif ou nul ; ainsi sin(x) = −2√2/3.

5. Quelle formule décrit les fonctions trigonométriques d’un angle augmenté de π ?

A. cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x)

B. cos(x + π) = sin(x) et sin(x + π) = cos(x)

C. cos(x + π) = −sin(x) et sin(x + π) = cos(x)

D. cos(x + π) = −cos(x) et sin(x + π) = −sin(x)

Answer: (D)

Explanation

Ajouter π change le signe du cosinus et du sinus : cos(x + π) = −cos(x) et sin(x + π) = −sin(x).

6. Laquelle des transformations suivantes applique correctement les formules de l’opposé ?

A. cos(−x) = sin(x) et sin(−x) = cos(x)

B. cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x)

C. cos(−x) = −sin(x) et sin(−x) = cos(x)

D. cos(−x) = −cos(x) et sin(−x) = sin(x)

Answer: (B)

Explanation

Le cosinus est une fonction paire, donc cos(−x) = cos(x), tandis que le sinus est une fonction impaire, donc sin(−x) = −sin(x).

7. Quelles sont les solutions réelles de l’équation \(\cos(x)=\cos(\alpha)\) ?

A. \(x=\pm\alpha+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

B. \(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

C. \(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

D. \(x=\alpha+k\pi\), avec \(k\in\mathbb Z\)

Answer: (C)

Explanation

Le cosinus prend la même valeur pour les angles \(\alpha\) et \(-\alpha\), modulo \(2\pi\). La famille \(\pi-\alpha+2k\pi\) correspond plutôt à la résolution d’une équation de type sinus.

8. Pour résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné, quelle démarche faut-il suivre ?

A. Résoudre l’équation uniquement aux bornes de l’intervalle

B. Déterminer les solutions sur \(\mathbb R\) sans tenir compte de l’intervalle

C. Tester directement quelques angles remarquables de l’intervalle

D. Déterminer les solutions générales, puis retenir celles qui appartiennent à l’intervalle

Answer: (D)

Explanation

On commence par obtenir les familles de solutions générales, puis on teste les valeurs entières de \(k\) afin de ne conserver que les solutions situées dans l’intervalle imposé.

9. Dans la résolution d’une inéquation trigonométrique, quel est le rôle de l’équation associée ?

A. Elle donne uniquement les solutions situées aux extrémités de l’intervalle

B. Elle fournit directement l’ensemble des solutions de l’inéquation

C. Elle permet de placer les bornes de l’arc recherché sur le cercle trigonométrique

D. Elle permet de supprimer la condition d’inégalité

Answer: (C)

Explanation

L’équation associée détermine les angles où l’égalité est satisfaite ; ces angles servent ensuite de bornes pour sélectionner l’arc correspondant à l’inégalité.

10. Quelle différence faut-il prendre en compte entre les conditions \(\cos(x)\geq a\) et \(\cos(x)>a\) sur le cercle trigonométrique ?

A. La condition \(\geq\) inclut les bornes, tandis que la condition \(>\) les exclut

B. La condition \(>\) inclut les bornes, tandis que la condition \(\geq\) les exclut

C. Les deux conditions donnent toujours exactement le même arc fermé

D. Les deux conditions donnent toujours exactement le même arc ouvert

Answer: (A)

Explanation

Le symbole \(\geq\) autorise l’égalité aux bornes, qui appartiennent donc à l’ensemble solution. Le symbole \(>\) impose une inégalité stricte et exclut ces bornes.

11. Sous quelle condition et par quelle formule la tangente peut-elle être exprimée à l’aide du sinus et du cosinus ?

A. Pour tout réel \(x\), \(\tan(x)=\sin(x)\cos(x)\)

B. Si \(\cos(x)\neq0\), alors \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

C. Si \(\cos(x)=0\), alors \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

D. Si \(\sin(x)\neq0\), alors \(\tan(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\)

Answer: (B)

Explanation

La tangente est définie comme le quotient \(\sin(x)/\cos(x)\), ce qui exige que \(\cos(x)\) soit non nul.

12. Quelle méthode est adaptée pour démontrer une identité trigonométrique ?

A. Affirmer que les deux membres sont égaux sans effectuer de calcul

B. Remplacer systématiquement tous les sinus par des cosinus

C. Transformer simultanément les deux membres sans objectif intermédiaire

D. Transformer le membre le plus complexe jusqu’à obtenir l’autre membre

Answer: (D)

Explanation

Une démonstration efficace part du membre le plus complexe et le simplifie par des transformations valides jusqu’à retrouver le membre opposé.

13. Quelle identité trigonométrique est valable pour tout réel \(x\) ?

A. \(\cos(x)\sin(x)=1\)

B. \(\cos(x)+\sin(x)=1\)

C. \(\cos^2(x)-\sin^2(x)=1\)

D. \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\)

Answer: (D)

Explanation

L’identité fondamentale de la trigonométrie est \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\), valable pour tout réel \(x\).