Hoja de repaso: Introduction à la géométrie, algèbre et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Structures de contrôle Python
2. Polynômes du premier et second degré
3. Fonctions et dérivées
4. Suites et algorithmes Python
5. Probabilités et variables aléatoires
6. Trigonométrie
7. Produit scalaire
8. Géométrie analytique

📖 1. Structures de contrôle Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de fonction : Une définition de fonction regroupe des instructions réutilisables et peut retourner une valeur avec le mot-clé return.
• Instruction conditionnelle : Une instruction conditionnelle exécute un bloc selon une condition via if, elif et else.
• Boucle for : Une boucle for parcourt une suite de valeurs fournie, par exemple range( ) ou les caractères d’une chaîne.
• Boucle while : Une boucle while répète tant qu’une condition reste vraie, en mettant à jour la variable de contrôle à chaque tour.

📝 Points essentiels

• Un test if exécute le bloc si la condition est vraie, elif teste ensuite d’autres conditions, et else s’exécute seulement sinon.
• Avec for i in range(a,b), i prend toutes les valeurs de a à b-1 si b est exclus.
• Avec for l in "bonjour", i parcourt successivement les caractères du mot.
• Une boucle while u < M s’exécute tant que u < M ; il faut mettre à jour u pour éviter une boucle infinie.
• Une fonction add peut renvoyer un résultat grâce à return, qui devient la valeur utilisée par le code appelant.

💡 Astuce mémo

if = choix, for = parcours, while = tant que ça dure.

📖 2. Polynômes du premier et second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du 1er degré : Un polynôme du premier degré s’écrit ax+b et son équation ax+b=0 se résout en isolant x.
• Polynôme du 2nd degré : Un polynôme du second degré s’écrit ax^2+bx+c et peut être présenté en forme développée, canonique ou factorisée.
• Discriminant : Le discriminant ∆ = b^2 − 4ac permet de décider du nombre de racines réelles et d’en calculer les valeurs.

📝 Points essentiels

• Pour ax+b=0, avec a ≠ 0, on a x = −b/a (et la lecture du signe dépend de a et de −b/a).
• Les formes d’un polynôme du second degré incluent P(x)=ax^2+bx+c, P(x)=a(x−α)^2+β et factorisée quand possible.
• Le discriminant vaut ∆=b^2−4ac : si ∆<0 il n’y a pas de racines réelles, si ∆=0 il y en a une double, si ∆>0 deux racines distinctes.
• Quand ∆>0, les racines sont x1,2=(−b ± √∆)/(2a) et x1+x2=−b/a et x1x2=c/a.
• Pour dresser le tableau de variations en forme canonique, on utilise α=−b/(2a), β=P(α) et le sens dépend du signe de a.

💡 Astuce mémo

∆ gouverne le nombre de racines : <0 aucune, =0 double, >0 deux.

📖 3. Fonctions et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : La tangente en un point a a pour équation basée sur le coefficient directeur donné par la dérivée en a.
• Taux de variation : Le taux de variation entre a et a+h correspond au quotient (f(a+h)−f(a))/h.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle ex est définie sur R, vaut e^0=1, et vérifie des règles de produit et de quotient des exposants.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur de la tangente en a est f’(a) et la tangente a pour équation y=f’(a)(x−a)+f(a).
• La définition de la dérivée s’obtient avec la limite quand h→0 de (f(a+h)−f(a))/h égale f’(a).
• Pour étudier les variations de f, on étudie le signe de f’(x) : f’<0 donne f décroissante et f’>0 donne f croissante.
• Pour comparer Cf et Cg, on calcule d(x)=f(x)−g(x) puis le signe de d(x) donne la position relative.
• La fonction exponentielle vérifie e^{a+b}=e^a e^b, (e^a)^n=e^{a n}, et e^{-b}=1/e^b avec e≈2,718.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente : signe de f’ → sens de variation.

📖 4. Suites et algorithmes Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite explicite : Une suite explicite donne un en fonction de n directement, sous la forme un=f(n).
• Suite récurrente : Une suite récurrente relie un+1 à un via une formule un+1=f(un).
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie un+1=un+r, avec r constant.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie un+1=q un, avec q constant.

📝 Points essentiels

• Deux modes de génération : explicite un=f(n) et récurrente un+1=f(un), avec un+1 calculé à partir du terme précédent.
• En suite arithmétique, on a un=u0+n r et la somme des termes utilise (n−p+1)(premier+dernier)/2.
• En suite géométrique, on a un=u_p (selon la base) et notamment qn−p intervient, avec une formule de somme utilisant 1−q^{…} sur 1−q.
• Pour étudier les variations d’une suite, on calcule un+1−un et on compare son signe : >0 croissante, <0 décroissante, =0 stationnaire ou constante.
• En algorithme CALCUL, une boucle for calcule successivement u=2u+5 puis affiche u après n tours.

💡 Astuce mémo

Différence un+1−un : signe = croissance, décroissance ou stabilité.

📖 5. Probabilités et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle p_A(B) est la probabilité de B sachant que A est réalisé, et s’écrit via l’intersection.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si p(A ∩ B)=p(A)×p(B), ce qui simplifie le calcul des intersections.
• Espérance : L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs de X par leurs probabilités.
• Variance : La variance V(X) mesure l’étalement autour de l’espérance et vaut E(X^2)−(E(X))^2.
• Variable aléatoire : Une variable aléatoire X associe à chaque issue une valeur et sa loi liste les valeurs possibles et leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle vérifie p_A(B)=p(A ∩ B)/p(A).
• La réunion s’obtient par p(A ∪ B)=p(A)+p(B)−p(A ∩ B).
• Si A et B sont indépendants, alors p(A ∩ B)=p(A)×p(B).
• Pour la loi de X, on lit p(X=xi) pour chaque valeur xi, puis E(X)=∑ xi pi et V(X)=E(X^2)−(E(X))^2.
• Pour n répétitions indépendantes avec deux issues succès/échec, la probabilité d’exactement n succès vaut p^n.

💡 Astuce mémo

Union = somme − intersection, et conditionnelle = intersection sur probabilité de la condition.

📖 6. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique représente les angles avec cosinus et sinus donnés par les coordonnées d’un point du cercle.
• Mesure principale : La mesure principale d’un angle est une valeur comprise dans ]−π ; π] pour décrire la position sur le cercle.
• Équation trigonométrique : Une équation trigonométrique se résout en ajoutant les périodes 2π et, selon cos ou sin, en tenant compte des symétries.

📝 Points essentiels

• Sur le repérage, les valeurs de cos et sin à des angles liés à π sont données par les positions du cercle et les signes.
• Les formules de double angle incluent cos(2a)=cos^2 a−sin^2 a et sin(2a)=2 sin a cos a.
• Les conversions utilisent deg→rad : deg×π/180 et rad→deg : 180×rad/π.
• Pour cos X = cos a : X=a+k×2π ou X=−a+k×2π avec k∈Z.
• Pour sin X = sin a : X=a+k×2π ou X=π−a+k×2π avec k∈Z, et cos^2 x+sin^2 x=1 donne l’encadrement −1≤cos x,sin x≤1.

💡 Astuce mémo

cos : symétrie autour de 0 ; sin : symétrie autour de π/2.

📖 7. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut 0.
• Projection via cosinus : Le produit scalaire s’exprime aussi en norme et cosinus de l’angle entre les vecteurs.
• Identités remarquables de normes : Les identités relient la norme d’une somme ou d’une différence à la somme de normes et au produit scalaire.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire vérifie u·v=v·u et (k u)·v = k (u·v) pour tout réel k.
• On a u·v=0 si et seulement si u ⟂ v, ce qui caractérise l’orthogonalité.
• La formule de cosinus donne AB·AC=AB×AC×cos(∠BAC), et AB·AH=±AB×AH selon l’orientation.
• En coordonnées, (xB−xA, yB−yA)·(xC−xA, yC−yA)=xx’+yy’ et AB=√((xB−xA)^2+(yB−yA)^2).
• Les identités incluent (u+v)^2=||u||^2+||v||^2+2 u·v et (u−v)^2=||u||^2+||v||^2−2 u·v.

💡 Astuce mémo

u⊥v ⇔ u·v=0 : le produit scalaire “mesure” l’alignement.

📖 8. Géométrie analytique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de droite : Une droite peut s’écrire sous forme y=mx+p ou sous forme ax+by+c=0, où m est le coefficient directeur.
• Équation de cercle : Un cercle est défini par ses points à distance r du centre O, ce qui donne une équation en (x−xO)^2+(y−yO)^2=r^2.
• Vecteurs colinéaires : Des vecteurs sont colinéaires s’ils sont proportionnels, ce qui caractérise l’alignement de points.

📝 Points essentiels

• Pour trouver l’appartenance d’un point (x,y) à une droite, on remplace x et y dans l’équation de la droite et on vérifie l’égalité.
• Une droite a pour équation réduite y=mx+p avec m=∆y/∆x, et pour équation cartésienne ax+by+c=0.
• L’équation de cercle s’écrit (x−xO)^2+(y−yO)^2=r^2 et peut être reformulée via le produit des égalités vectorielles AM⊥BM.
• L’alignement se teste par colinéarité : pour u(x,y) et v(x’,y’), on a x y’ − x’ y = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires.
• Si E vérifie AE=α AB+β AC, alors xE−xA=α(xB−xA)+β(xC−xA) et yE−yA=α(yB−yA)+β(yC−yA).

💡 Astuce mémo

Appartenance = substitution, alignement = déterminant nul x y’ − x’ y.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Dans un if/elif/else, seul un bloc s’exécute selon l’ordre des conditions, et oublier else conduit à ne rien faire dans certains cas.
2. Confondre range(a,b) : la borne b n’est pas incluse, donc range(0,10) donne 0 à 9 et pas 10.
3. Mélanger la forme canonique et la factorisée du second degré : α=−b/(2a) et β=P(α) viennent de la forme canonique.
4. Interpréter mal f’(x) : son signe donne les variations de f, pas directement la valeur de f.
5. Rater la condition d’indépendance : p(A ∩ B)=p(A)p(B) ne s’applique que si A et B sont indépendants.
6. Confondre produit scalaire et norme : u·v=0 signifie orthogonalité, mais ne donne pas directement ||u|| ou ||v||.
7. Se tromper de signe dans la formule AB·AH=±AB×AH, qui dépend de l’orientation utilisée pour l’angle ou la projection.

✅ Checklist Examen

1. Écrire et résoudre une équation du 1er degré ax+b=0 en donnant x=−b/a et la lecture du signe associée.
2. Présenter un polynôme du second degré sous les trois formes vues et identifier α=−b/(2a) et β=P(α) pour la forme canonique.
3. Calculer le discriminant ∆=b^2−4ac et conclure sur l’existence et le nombre de racines réelles avec les formules de x1,2 quand ∆≥0.
4. Dresser le tableau de variations d’une fonction à partir du signe de f’(x) et énoncer la croissance/décroissance selon f’(x)<0 ou >0.
5. Écrire l’équation de la tangente en a : y=f’(a)(x−a)+f(a), à partir de la dérivée.
6. Comparer deux courbes Cf et Cg en calculant d(x)=f(x)−g(x) et en déduisant Cf<Cg ou Cf> Cg selon le signe.
7. Déterminer le type de suite (arithmétique ou géométrique) à partir de la récurrence un+1=un+r ou un+1=qun puis utiliser les formules données.
8. Étudier les variations d’une suite en calculant un+1−un et en concluant strictement croissante, strictement décroissante ou stationnaire.
9. Calculer des probabilités conditionnelles et des unions avec les formules p_A(B)=p(A∩B)/p(A) et p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B).
10. Appliquer le cas d’indépendance pour calculer p(A ∩ B) puis calculer espérance E(X) et variance V(X) à partir de la loi de X.
11. Résoudre des équations cos X=cos a et sin X=sin a en écrivant toutes les solutions avec la période 2π et les symétries.
12. Utiliser les formules de base de trigonométrie vues (cos2a, sin2a, cos(a±b), sin(a±b)) et les propriétés cos^2+sin^2=1.
13. Appliquer les propriétés du produit scalaire : u·v=0 ⇔ u⊥v, commutativité, distributivité, et la formule avec le cosinus.
14. Tester l’appartenance d’un point à une droite en remplaçant dans l’équation, et tester l’alignement via x y’ − x’ y=0.