Hoja de repaso: Analyse des fonctions et résolution d'inéquations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation graphique
2. Variations, extremums et signe
3. Parité et périodicité
4. Fonctions de référence
5. Fonctions polynomiales du second degré
6. Équations du second degré
7. Inéquations du second degré

📖 1. Définition et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition : Un ensemble de définition D est le sous-ensemble de ℝ sur lequel la fonction f est autorisée à prendre des valeurs.
• Fonction : Une fonction f est une correspondance qui associe à chaque x de D un unique réel noté f(x).
• Courbe Cf : La courbe Cf est l’ensemble des points M(x ; y) tels que y = f(x) quand x décrit D.

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de f, dans un repère, est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) pour tout x de D.
• Pour tracer une courbe, on choisit des valeurs de x dans D puis on calcule leurs images f(x) dans un tableau de valeurs.
• Exemple de règle de calcul : si f(x)=2x−3 alors l’image de x se détermine par substitution directe dans 2x−3.

📖 2. Variations, extremums et signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle I si l’ordre de deux réels x1 et x2 est conservé par leurs images f(x1) et f(x2).
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si l’ordre de deux réels x1 et x2 est inversé par leurs images f(x1) et f(x2).
• Minimum : Un minimum de f sur D est la plus petite valeur atteinte de f(x), obtenue en un certain a de D.
• Maximum : Un maximum de f sur D est la plus grande valeur atteinte de f(x), obtenue en un certain b de D.
• Tableau de signes : Un tableau de signes indique, pour des valeurs repères, si f(x) est positive, négative ou nulle.

📝 Points essentiels

• Si f est croissante sur I, alors pour x1<x2 on a f(x1)≤f(x2), et elle est monotone sur I si elle ne change pas de sens.
• Si f présente un minimum f(a), alors pour tout x de D on a f(x)≥f(a), et le minimum est l’ordonnée du point le plus bas de Cf.
• Si f présente un maximum f(b), alors pour tout x de D on a f(x)≤f(b), et le maximum est l’ordonnée du point le plus haut de Cf.
• Une fonction est positive sur I si pour tout x de I on a f(x)≥0, et négative si pour tout x de I on a f(x)≤0.
• Un tableau de signes s’interprète en lisant le signe de f(x) entre les valeurs où f(x)=0.

📖 3. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction est paire sur un domaine centré si f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire sur un domaine centré si f(−x)=−f(x) pour tout x de son domaine.
• Périodicité : Une fonction est périodique de période T si son expression se répète tous les T, soit f(x+T)=f(x) pour x dans D.

📝 Points essentiels

• Une courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Une courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine (symétrie centrale).
• Une fonction trigonométrique est périodique de période 2π, et une période se visualise par translation d’un morceau de courbe de longueur 2π.
• La définition de parité et d’imparité exige un domaine centré (symétrique) par rapport à 0 pour pouvoir comparer x et −x.

📖 4. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=mx+p définie sur ℝ, avec m et p réels.
• Fonction carré : La fonction carré associe à tout réel x le nombre x², donc f(x)=x² sur ℝ.
• Fonction inverse : La fonction inverse associe à tout réel x non nul le nombre 1/x, donc f(x)=1/x sur ℝ*.
• Fonction cube : La fonction cube associe à tout réel x le nombre x³, donc f(x)=x³ sur ℝ.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée associe à tout x de [0 ; +∞[ le nombre √x.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=mx+p, la pente est m et l’ordonnée à l’origine est p=f(0), et la courbe est une droite d’équation y=mx+p.
• Si m>0, f(x)=mx+p est croissante sur ℝ, et si m<0, elle est décroissante sur ℝ.
• La fonction carré est toujours non négative : x²≥0 pour tout x∈ℝ, et elle est paire car (−x)²=x².
• La fonction inverse est définie sur ℝ* et est impaire, car 1/(−x)=−1/x, avec deux branches distinctes.
• La fonction racine carrée n’a de sens que pour x≥0 et sa courbe est toujours dans le cadran positif (y≥0).

📖 5. Fonctions polynomiales du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est un polynôme du type P(x)=ax²+bx+c avec a≠0.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est P(x)=a(x−α)²+β, avec α abscisse du sommet et β ordonnée du sommet.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un trinôme s’écrit P(x)=a(x−x1)(x−x2) quand il admet deux racines réelles distinctes.
• Sommet de la parabole : Le sommet d’une parabole est le point de coordonnées (α ; β) quand le trinôme est écrit sous la forme canonique.

📝 Points essentiels

• Sous forme canonique, on a α=−b/(2a) et β=P(α), ce qui fixe directement le sommet de la parabole.
• Si x1=x2, alors la forme factorisée devient P(x)=a(x−x0)², et la parabole touche l’axe des abscisses en un seul point.
• Le signe de a détermine l’ouverture : si a>0 la parabole est ouverte vers le haut (convexe), si a<0 elle est ouverte vers le bas (concave).
• La convexité/concavité et le sens de variation dépendent directement du signe de a.

📖 6. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines du trinôme : Les racines d’un trinôme sont les valeurs de x qui annulent l’expression P(x)=0.
• Équation factorisée : Résoudre une équation de second degré revient à factoriser le trinôme puis à annuler chaque facteur obtenu.
• Racine double : Une racine double apparaît quand P(x)=0 conduit à un facteur répété du type (x−x0)².

📝 Points essentiels

• Pour résoudre P(x)=0 avec P(x)=ax²+bx+c, on cherche à factoriser via identités remarquables, facteur commun, forme canonique ou une racine évidente.
• Si P(x)=a(x−x1)(x−x2) avec x1≠x2, l’équation admet deux solutions réelles x1 et x2.
• Si P(x)=a(x−x0)², l’équation admet une seule solution réelle double x0=−b/(2a).
• Si le trinôme ne se factorise pas dans ℝ, alors l’équation n’a aucune solution réelle.
• Quand il y a deux racines distinctes, l’abscisse α du sommet vaut la demi-somme : α=(x1+x2)/2, et on admet aussi x1+x2=−b/a et x1x2=c/a.

📖 7. Inéquations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré est une condition sur x de type ax²+bx+c < 0, > 0, ≤ 0 ou ≥ 0.
• Règle du signe d’un produit : La règle du signe d’un produit donne le signe du produit à partir des signes de ses facteurs.

📝 Points essentiels

• Après factorisation, on dresse un tableau de signes avec une ligne par facteur puis on lit le signe de ax²+bx+c grâce au signe du produit.
• Si a>0 et si le trinôme admet deux racines x1<x2, alors ax²+bx+c a le signe de a à l’extérieur des racines et change de signe entre x1 et x2.
• Si a>0 et si le trinôme admet une racine double x0, alors ax²+bx+c garde le signe de a de part et d’autre de x0.
• Si le trinôme n’admet aucune racine réelle, alors ax²+bx+c garde toujours le signe de a sur ℝ.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre une fonction paire avec une fonction impaire : la paire vérifie f(−x)=f(x) tandis que l’impair vérifie f(−x)=−f(x).
2. Croire que toute fonction admet des images pour x quelconque : l’ensemble de définition D peut être un intervalle ou une réunion d’intervalles.
3. Mélanger minimum et maximum : le minimum correspond à la plus petite valeur atteinte et au point le plus bas de la courbe.
4. Interpréter mal le tableau de signes : le signe se lit sur les intervalles, pas seulement aux bornes où le signe peut être nul.
5. Oublier que x²=k n’a pas les mêmes solutions selon le signe de k : deux, une ou aucune solution réelle.
6. Se tromper sur l’inéquation sans gestion des zéros : les racines rendent P(x)=0, donc elles s’incluent ou s’excluent selon le signe strict ou large.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction à partir de son ensemble de définition D.
2. Construire la courbe Cf d’une fonction en reliant y=f(x) pour x∈D.
3. Expliquer la croissance, la décroissance et la monotonie à partir de l’ordre des images.
4. Identifier un minimum ou un maximum à partir des inégalités f(x)≥f(a) ou f(x)≤f(b).
5. Lire un signe : positif si f(x)≥0 et négatif si f(x)≤0 sur un intervalle donné.
6. Déterminer si une fonction est paire ou impaire à partir de f(−x)=f(x) ou f(−x)=−f(x).
7. Utiliser la périodicité f(x+T)=f(x) et connaître la période 2π des fonctions trigonométriques mentionnées.
8. Savoir écrire et interpréter une fonction affine f(x)=mx+p et lier m au sens de variation.
9. Connaître les propriétés des fonctions de référence : x²≥0, 1/x définie sur ℝ*, x³ impaire, √x définie sur [0;+∞[.
10. Écrire un trinôme sous une des formes demandées (développée, canonique, factorisée) et donner α=−b/(2a).
11. Résoudre P(x)=0 en distinguant : deux racines, racine double, ou aucune solution réelle.
12. Pour une inéquation du second degré, factoriser puis établir le tableau de signes et conclure le domaine solution en tenant compte des racines.
13. Relier les racines à l’abscisse du sommet : α=(x1+x2)/2 et x1+x2=−b/a, x1x2=c/a quand il y a deux racines distinctes.