Cuestionario: Analyse des fonctions et résolution d'inéquations du second degré — 14 preguntas

1. Qu’appelle-t-on l’ensemble de définition d’une fonction ?

A. L’ensemble des coefficients qui définissent l’expression de la fonction

B. L’ensemble des points où la courbe coupe l’axe des abscisses

C. L’ensemble des réels pour lesquels la fonction est autorisée à prendre des valeurs

D. L’ensemble des valeurs prises par f(x)

Answer: (C)

Explicación

L’ensemble de définition est le sous-ensemble de ℝ sur lequel la fonction peut être évaluée. Ce n’est ni l’ensemble des images ni celui des zéros de la fonction.

2. Comment se définit la courbe représentative d’une fonction f dans un repère ?

A. Comme l’ensemble des points dont l’ordonnée est égale à x²

B. Comme la droite d’équation y = f(x) quelle que soit la fonction

C. Comme l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) pour x appartenant à l’ensemble de définition

D. Comme l’ensemble des points où f(x) est nul

Answer: (C)

Explicación

La courbe représentative est formée de tous les points (x ; f(x)) lorsque x parcourt l’ensemble de définition. Elle n’est pas forcément une droite.

3. Que signifie le fait qu’une fonction soit croissante sur un intervalle ?

A. Lorsque x1 < x2, on a f(x1) ≥ f(x2)

B. Lorsque la fonction prend seulement des valeurs positives

C. Lorsque x1 < x2, on a f(x1) ≤ f(x2)

D. Lorsque f(x1) = f(x2) pour tous les réels de l’intervalle

Answer: (C)

Explicación

Une fonction croissante conserve l’ordre des antécédents : si x1 < x2, alors f(x1) ≤ f(x2). La proposition avec l’inégalité inversée décrit au contraire une fonction décroissante.

4. Que représente un minimum de la fonction sur son domaine ?

A. La plus grande valeur atteinte par la fonction, en un certain point du domaine

B. La valeur de la fonction au point d’abscisse 0

C. La valeur où la courbe coupe l’axe des ordonnées

D. La plus petite valeur atteinte par la fonction, en un certain point du domaine

Answer: (D)

Explicación

Un minimum est la plus petite valeur prise par la fonction sur le domaine, obtenue en un point précis. Le maximum correspondrait à la plus grande valeur.

5. Quelle relation caractérise une fonction paire sur un domaine centré ?

A. f(x) = 0 pour tout x

B. f(x + T) = f(x)

C. f(−x) = f(x)

D. f(−x) = −f(x)

Answer: (C)

Explicación

Une fonction paire vérifie f(−x)=f(x) pour tout x de son domaine. La relation f(−x)=−f(x) caractérise au contraire une fonction impaire.

6. Quelle propriété géométrique possède la courbe d’une fonction impaire ?

A. Elle est toujours située au-dessus de l’axe des abscisses

B. Elle est symétrique par rapport à l’origine

C. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

D. Elle est nécessairement une droite

Answer: (B)

Explicación

La courbe d’une fonction impaire admet une symétrie centrale de centre l’origine. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées correspond à une fonction paire.

7. Quelle est la forme générale d’une fonction affine ?

A. f(x) = √x + p

B. f(x) = 1/x

C. f(x) = mx + p

D. f(x) = x² + p

Answer: (C)

Explicación

Une fonction affine s’écrit f(x)=mx+p avec m et p réels. Sa courbe est une droite.

8. Sur quel ensemble la fonction racine carrée est-elle définie ?

A. Sur ]−∞ ; 0]

B. Sur ℝ*

C. Sur [0 ; +∞[

D. Sur ℝ

Answer: (C)

Explicación

La fonction racine carrée n’a de sens que pour les réels positifs ou nuls. Son domaine est donc [0 ; +∞[.

9. Dans la forme canonique P(x)=a(x−α)²+β, que représente le point (α ; β) ?

A. Le centre de symétrie de toute parabole

B. Le sommet de la parabole

C. L’ordonnée à l’origine

D. Une racine double dans tous les cas

Answer: (B)

Explicación

Dans la forme canonique, (α ; β) est le sommet de la parabole. C’est ce point qui permet de lire directement l’abscisse et l’ordonnée du sommet.

10. Quel effet le signe de a a-t-il sur l’ouverture de la parabole d’un trinôme du second degré ?

A. Le signe de a n’influence pas l’ouverture de la parabole

B. Si a = 0, la parabole est ouverte vers le haut

C. Si a > 0, la parabole est ouverte vers le bas ; si a < 0, elle est ouverte vers le haut

D. Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut ; si a < 0, elle est ouverte vers le bas

Answer: (D)

Explicación

Le signe de a détermine l’ouverture : a>0 donne une parabole convexe, ouverte vers le haut, et a<0 une parabole concave, ouverte vers le bas. Si a=0, on n’a plus un trinôme du second degré.

11. Quelle est la forme générale d’un trinôme du second degré ?

A. P(x)=mx+p avec m≠0

B. P(x)=ax²+bx+c avec a≠0

C. P(x)=x²+c avec c∈ℝ

D. P(x)=a(x−x1)(x−x2) avec x1≠x2

Answer: (B)

Explicación

Un trinôme du second degré s’écrit sous la forme développée ax²+bx+c avec a non nul. La forme factorisée n’est possible que dans certains cas particuliers, lorsqu’il existe deux racines réelles distinctes.

12. Dans l’écriture canonique P(x)=a(x−α)²+β, que représentent α et β ?

A. La pente et l’ordonnée à l’origine

B. Les deux racines réelles du trinôme

C. L’abscisse et l’ordonnée du sommet de la parabole

D. Les coefficients du terme linéaire et du terme constant

Answer: (C)

Explicación

Dans la forme canonique, α est l’abscisse du sommet et β son ordonnée. Cette écriture permet donc de repérer directement le sommet de la parabole.

13. Lorsque P(x)=a(x−x1)(x−x2) avec x1≠x2, quelles sont les solutions de l’équation P(x)=0 ?

A. Seulement x1

B. Seulement x2

C. x1 et x2

D. Aucune solution réelle

Answer: (C)

Explicación

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul, donc les solutions sont x1 et x2. Ce cas correspond à deux racines réelles distinctes.

14. Si a>0 et que le trinôme admet deux racines réelles x1<x2, quel est le signe de ax²+bx+c entre ces deux racines ?

A. Positif entre x1 et x2

B. Le même signe que a partout sur ℝ

C. Négatif entre x1 et x2

D. Toujours nul entre x1 et x2

Answer: (C)

Explicación

Quand a>0 et qu’il y a deux racines distinctes, le trinôme est du signe opposé à celui de a entre les racines. Comme a est positif, l’expression est donc négative entre x1 et x2.