Cuestionario: Cahier de vacances de mathématiques — 36 preguntas

1. Quel est le module |z| d’un nombre complexe z=a+ib ?

A. |z|=\(\sqrt{a^2+b^2}\)

B. |z|=\(a^2+b^2\)

C. |z|=\(\sqrt{2ab}\)

D. |z|=a+b

Answer: (A)

Explicación

Pour z=a+ib, le module vaut \(\sqrt{a^2+b^2}\). Les autres choix ne correspondent pas à la norme euclidienne du plan complexe.

2. Dans l’écriture z=|z| e^{i\theta}, la valeur de \(\theta\) est-elle une quantité unique ?

A. Oui, \(\theta\) vaut toujours la partie réelle de z

B. Non, \(\theta\) est défini modulo \(\pi\)

C. Non, \(\theta\) est défini modulo \(2\pi\)

D. Oui, \(\theta\) est déterminé de façon unique entre 0 et 1

Answer: (C)

Explicación

Le module |z| est bien déterminé, tandis que l’argument \(\theta\) est défini modulo \(2\pi\). Par conséquent, on peut avoir plusieurs angles donnant la même direction dans le plan complexe.

3. Quelle relation est vérifiée pour tout entier n et toute écriture e^{i\theta} ?

A. \((e^{i\theta})^n=e^{i\theta/n}\)

B. \((e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\)

C. \((e^{i\theta})^n=e^{-in\theta}\)

D. \((e^{i\theta})^n=e^{\theta}\)

Answer: (B)

Explicación

Pour tout entier n, on a \((e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\). Les autres relations déplacent mal le facteur n dans l’exponentielle.

4. Dans une expression sinusoïdale A\,sin(\omega t-\varphi), que représente \(\varphi\) ?

A. L’amplitude

B. Le décalage temporel

C. Le déphasage

D. La pulsation

Answer: (C)

Explicación

Dans A\,sin(\omega t-\varphi), \(\varphi\) est le déphasage. Le décalage temporel correspondant est \(\Delta t=\varphi/\omega\), mais il ne faut pas confondre les deux grandeurs.

5. Une fonction paire vérifie l’égalité f(-x)=f(x). Quel en est le critère géométrique ?

A. Courbe symétrique par rapport à l’axe des abscisses

B. Courbe symétrique par rapport à une droite verticale quelconque

C. Courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

D. Courbe symétrique par rapport à l’origine

Answer: (C)

Explicación

Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, ce qui correspond à f(-x)=f(x). Une symétrie par rapport à l’origine caractérise plutôt une fonction impaire.

6. Quelle propriété caractérise une fonction impaire ?

A. f(-x)=f(x)

B. f(x)=0 pour tout x

C. f(-x)=-f(x)

D. f(x+T)=f(x) pour tout T

Answer: (C)

Explicación

Une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Les autres propositions décrivent des cas différents.

7. Si une fonction est périodique de période T, que doit-on avoir pour tout x ?

A. f(x+T)=f(x)

B. f(x+T)=f(-x)

C. f(x)=0 quel que soit x

D. f(x)=f(x+T/2)

Answer: (A)

Explicación

Par définition, une fonction périodique de période T vérifie f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine. Les autres égalités ne garantissent pas la périodicité demandée.

8. Qu’appelle-t-on fonction causale ?

A. Une fonction symétrique par rapport à l’origine

B. Une fonction nulle pour tout t<0

C. Une fonction égale à 1 pour tout t≥0

D. Une fonction périodique

Answer: (B)

Explicación

Une fonction causale vaut zéro pour tout t<0. Une fonction échelon est différente : elle vaut 1 pour t≥0 et 0 pour t<0.

9. On définit F(x)=\(\int_a^x f(t)dt\). Quel résultat donne \(\int_a^b f(t)dt\) en fonction de F ?

A. \(\int_a^b f(t)dt = 0\)

B. \(\int_a^b f(t)dt = F(b)+F(a)\)

C. \(\int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\)

D. \(\int_a^b f(t)dt = F(a)-F(b)\)

Answer: (C)

Explicación

On a la relation \(\int_a^b f(t)dt = F(b)-F(a)\). L’expression ne s’obtient pas en additionnant F(a) et F(b), ni en inversant leur ordre.

10. Quelle formule d’intégration par parties lie l’intégrale de \(f'(t)g(t)\) aux expressions de bord ?

A. \(\int_a^b f'(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)dt\)

B. \(\int_a^b f'(t)g(t)dt = \int_a^b f(t)g'(t)dt\)

C. \(\int_a^b f'(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]_a^b + \int_a^b f(t)g'(t)dt\)

D. \(\int_a^b f'(t)g(t)dt = [f(t)]_a^b\)

Answer: (A)

Explicación

La formule donnée est \(\int_a^b f'(t)g(t)dt = [f(t)g(t)]_a^b - \int_a^b f(t)g'(t)dt\). Le terme de bord doit bien s’évaluer sur les deux bornes via \([\,]_a^b\).

11. Pour une substitution \(t=\varphi(u)\) avec \(\varphi\) C1, à quel énoncé correspond la relation sur les bornes et l’intégrande ?

A. \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt = \int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)dt\)

B. \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt = \int_a^b f(t)dt\)

C. \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt = \int_a^b f(t)\,\varphi'(a)dt\)

D. \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt = \int_a^b f(\varphi(t))dt\)

Answer: (A)

Explicación

On doit transformer simultanément l’intégrande et les bornes : \(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)dt=\int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)dt\). Omettre le facteur \(\varphi'(t)\) mène à une substitution incorrecte.

12. Quel est le développement de e^x au voisinage de 0 jusqu’à l’ordre n, en termes de reste ?

A. e^x=o(x^n) au voisinage de 0

B. e^x=1+x+x²/2!+⋯+x^n/n!+o(x^n)

C. e^x=1+x/1!+x²/2!+⋯+x^n/(n+1)!+o(x^n)

D. e^x=1+x+x²/2!+⋯+x^n/n!+O(x^{n+1})

Answer: (B)

Explicación

Le développement de e^x au voisinage de 0 est 1+x+x²/2!+⋯+x^n/n! avec un reste o(x^n). Les autres propositions donnent un reste ou des coefficients incompatibles.

13. Comment définit-on une intégrale généralisée du type ∫_a^{+∞} f(x)dx ?

A. Par la limite lim_{A→+∞}∫_a^A f(x)dx

B. Par la limite lim_{A→0^+}∫_a^A f(x)dx

C. Par la limite lim_{A→+∞}∫_0^A f(x)dx

D. Par la limite lim_{ε→+∞}∫_ε^{+∞} f(x)dx

Answer: (A)

Explicación

On définit ∫_a^{+∞} f(x)dx comme lim_{A→+∞}∫_a^A f(x)dx. Le choix faux confond avec une limite près de 0 ou avec une borne fixe.

14. Si f(x)∼1/x^α quand x→+∞, pour quelles valeurs de α l’intégrale ∫^ {+∞} f(x)dx converge-t-elle ?

A. Elle converge si α<1

B. Elle converge pour toute valeur de α

C. Elle diverge pour toute valeur de α

D. Elle converge si α>1

Answer: (D)

Explicación

Quand f(x)∼1/x^α à l’infini, l’intégrale converge précisément si α>1. L’option α<1 inverse le critère valable à l’infini.

15. Quand est-ce qu’une série de terme général u_n est dite convergente ?

A. Si la suite u_n tend vers 0

B. Si la somme des valeurs absolues ∑|u_n| converge

C. Si la suite u_n est bornée

D. Si ses sommes partielles S_n=∑_{k=0}^n u_k admettent une limite finie

Answer: (D)

Explicación

Par définition, la série converge lorsque les sommes partielles ont une limite finie. Le fait qu'u_n→0 est nécessaire mais ne suffit pas.

16. Vers quelle valeur converge la série géométrique ∑_{k=0}^{∞} r^k lorsque |r|<1 ?

A. 1/(1−r)

B. r/(1−r)

C. 1/(1+r)

D. 0

Answer: (A)

Explicación

Pour |r|<1, la série géométrique ∑ r^k converge vers 1/(1−r). Les autres expressions ne correspondent pas à la somme de cette série.

17. Pour la série ∑_{k=1}^{∞} 1/k^α, dans quel cas la série converge-t-elle ?

A. Elle converge pour α=1 uniquement

B. Elle converge si α>1

C. Elle converge si α≤1

D. Elle converge pour tout réel α

Answer: (B)

Explicación

Le critère indique que ∑ 1/k^α converge si α>1 et diverge si α≤1. Les propositions contraires contredisent directement ce seuil.

18. Si, pour une série ∑ u_n, on a |u_{n+1}/u_n|→ℓ avec ℓ<1, que peut-on conclure ?

A. La série converge seulement si ℓ=0

B. La série converge

C. La série diverge

D. On ne peut rien conclure

Answer: (B)

Explicación

Le critère du quotient affirme que si ℓ<1 alors la série converge. L’option « on ne peut rien conclure » correspond au cas limite ℓ=1, qui n’est pas ici.

19. Comment peut-on résoudre un système linéaire si la matrice des coefficients est inversible ?

A. En écrivant AX=B puis en utilisant X=A^{-1}B

B. En posant X=A et en prenant B=I

C. En utilisant toujours Cramer, même si le système n’est pas carré

D. En remplaçant A par sa transposée et en calculant X=B^T

Answer: (A)

Explicación

Si det(A)≠0, alors A^{-1} existe et la solution vérifie X=A^{-1}B. Les autres choix ne donnent pas la solution d’AX=B dans ce cadre.

20. Pour un système carré AX=B avec Δ=det(A)≠0, comment obtient-on l’inconnue X_j par la règle de Cramer ?

A. Comme le quotient de det(A) par Δ, indépendamment de B

B. Comme le quotient de det(A) par le déterminant où la ligne j est remplacée par B

C. Comme le produit des déterminants des matrices obtenues en remplaçant une ligne

D. Comme le quotient du déterminant où la colonne j est remplacée par B par Δ

Answer: (D)

Explicación

Chaque inconnue est donnée par le déterminant de la matrice dont la colonne correspondante est remplacée par B, divisé par Δ=det(A). Les distracteurs inversent colonnes/quotients ou changent le rôle de B.

21. Quel type d’approche peut être utilisé pour résoudre un système linéaire selon ses méthodes usuelles ?

A. Résolution exclusive par interpolation de Lagrange

B. Réduction au polynôme caractéristique uniquement

C. Substitution ou combinaisons linéaires, ou inversion matricielle, ou méthode de Cramer

D. Transformée de Fourier et filtres fréquentiels

Answer: (C)

Explicación

Le système linéaire peut se résoudre par substitution, combinaisons linéaires, inversion matricielle ou méthode de Cramer. Les autres options sont des techniques sans lien avec la résolution standard de systèmes linéaires.

22. Comment peut-on écrire une équation différentielle linéaire du premier ordre sous forme standard ?

A. a(x)y′′+b(x)y′+c(x)y=f(x)

B. a(x)y+b(x)y′=0

C. y′+b(x)y=f(x)

D. a(x)y′+b(x)y=f(x)

Answer: (D)

Explicación

Une équation différentielle linéaire du premier ordre se met sous la forme a(x)y′+b(x)y=f(x). Les autres options correspondent à d’autres ordres ou à des formes non équivalentes.

23. Pour l’équation homogène a(x)y′+b(x)y=0, quelle est la forme générale de la solution ?

A. y(x)=λe^{\int a(x)/b(x)\,dx}

B. y(x)=λe^{−\int a(x)\,dx}

C. y(x)=λe^{\int b(x)\,dx}

D. y(x)=λe^{−\int b(x)/a(x)\,dx}

Answer: (D)

Explicación

La solution homogène s’écrit y(x)=λe^{−\int b(x)/a(x)dx}. Les autres choix inversent le rôle de a(x) et b(x) ou omettent la fraction b(x)/a(x).

24. Quelle méthode permet de construire la solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à partir de la solution homogène ?

A. Ajouter une solution particulière obtenue par variation de la constante

B. Résoudre uniquement l’équation caractéristique associée

C. Déterminer les racines d’un polynôme du second degré puis combiner

D. Multiplier la solution homogène par une constante non nulle

Answer: (A)

Explicación

On obtient la solution générale en ajoutant à la solution homogène une solution particulière trouvée par variation de la constante. Les autres propositions ne décrivent pas la construction de cette solution générale.

25. Pour l’équation y″+ay′+by=0, sur quoi la forme des solutions est-elle construite ?

A. À partir des racines r1 et r2 de l’équation caractéristique r²+ar+b=0

B. Uniquement à partir des coefficients a et b, sans équation caractéristique

C. À partir de la solution homogène d’une équation du premier ordre associée

D. À partir des valeurs propres d’une matrice de taille 2

Answer: (A)

Explicación

Les solutions de y″+ay′+by=0 sont construites à partir des racines r1 et r2 de l’équation caractéristique r²+ar+b=0. Les autres options mélangent des notions (valeurs propres, équations d’ordre différent).

26. Dans la formule du produit de convolution (f∗g)(x)=∫ f(•)g(•), quel terme porte le décalage de la première fonction ?

A. g(t+x)

B. f(x−t)

C. f(t−x)

D. g(x−t)

Answer: (B)

Explicación

Par définition, (f∗g)(x)=∫ f(x−t)g(t)dt : le décalage x−t s’applique à la première fonction f. Les distracteurs permutent les rôles des fonctions ou changent le signe du décalage.

27. Quelle relation caractérise l’orthogonalité de deux vecteurs u et v ?

A. ||u||+||v||=0

B. ||u∧v||=0

C. u·v=0

D. u·v=||u||||v||

Answer: (C)

Explicación

On a u·v=0 si et seulement si u et v sont orthogonaux. Une norme de produit vectoriel nulle ou une autre égalité ne constitue pas la caractérisation demandée ici.

28. Si u et v engendrent un parallélogramme, quel est l’interprétation géométrique de ||u∧v|| ?

A. C’est la longueur de la diagonale du parallélogramme

B. C’est l’aire du parallélogramme construit sur u et v

C. C’est le volume du tétraèdre construit sur u et v

D. C’est l’aire du cercle de rayon ||u||+||v||

Answer: (B)

Explicación

La norme ||u∧v|| correspond à l’aire du parallélogramme construit sur u et v. Le produit vectoriel produit bien un vecteur orthogonal, mais l’aire du parallélogramme est donnée par sa norme.

29. Quand un scalaire λ est-il une valeur propre de la matrice A ?

A. S’il existe un vecteur non nul v tel qu'Av=0

B. S’il existe un vecteur non nul v tel qu'Av=λv

C. S’il existe une matrice P telle que P−1AP=I

D. S’il existe un vecteur v tel qu'Av=v/λ

Answer: (B)

Explicación

Par définition, λ est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul v vérifiant Av=λv. Les autres options correspondent à des conditions différentes (inversion, matrice identité, noyau).

30. Que décrit exactement le sous-espace propre associé à une valeur propre λ ?

A. L’ensemble des vecteurs v tels que det(A−λI)=1

B. L’ensemble des vecteurs v tels que (A−λI)v=0

C. L’ensemble des vecteurs v tels qu'Av=0

D. L’ensemble des vecteurs v tels que (A+λI)v=v

Answer: (B)

Explicación

Le sous-espace propre associé à λ est formé des vecteurs vérifiant (A−λI)v=0. Les distracteurs imposent d’autres équations ou confondent avec une condition sur le déterminant.

31. Comment obtient-on les valeurs propres d’une matrice A à partir de son polynôme caractéristique ?

A. Elles sont les racines de χ_A(λ)=det(A−λI)

B. Elles sont les racines de χ_A(λ)=det(λI−A)

C. Elles sont les coefficients du polynôme det(A−λI) sous forme linéaire

D. Elles sont les zéros de det(A)+λ

Answer: (A)

Explicación

Les valeurs propres de A sont précisément les racines du polynôme caractéristique χ_A(λ)=det(A−λI). Les autres propositions changent la définition ou utilisent une expression différente du polynôme.

32. Quelle condition permet de conclure qu’une matrice carrée de taille n est diagonalisable ?

A. Le déterminant de A est égal à 1

B. La matrice admet au moins n valeurs propres réelles

C. Chaque valeur propre apparaît exactement une fois dans le polynôme caractéristique

D. La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n

Answer: (D)

Explicación

Une matrice carrée de taille n est diagonalisable si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n. Les autres choix ne garantissent pas, à eux seuls, la diagonalisabilité.

33. Quelle est l’expression correcte pour calculer la probabilité d’un événement B sachant qu'A est réalisé, lorsque P(A) ≠ 0 ?

A. P(B|A)=P(A∩B)/P(B)

B. P(B|A)=P(B)

C. P(B|A)=P(A)/P(A∩B)

D. P(B|A)=P(A∩B)/P(A)

Answer: (D)

Explicación

La probabilité conditionnelle vérifie P(B|A)=P(A∩B)/P(A) quand P(A) n’est pas nulle. L’option proposant division par P(B) correspondrait à P(A|B).

34. Si les événements A_i forment une partition et que l’on veut calculer P(A_i|B), quelle formule donne le bon résultat ?

A. P(A_i|B)=P(B|A_i)P(A_i)/∑_j P(B|A_j)P(A_j)

B. P(A_i|B)=P(B)/P(A_i)

C. P(A_i|B)=P(A_i∩B)

D. P(A_i|B)=P(B|A_i)/P(A_i)

Answer: (A)

Explicación

Pour une partition, la loi des probabilités conditionnelles donne P(A_i|B)= P(B|A_i)P(A_i)/∑_j P(B|A_j)P(A_j). Les autres propositions ne tiennent pas compte du terme de normalisation par la somme sur j.

35. On effectue n épreuves indépendantes, chacune donnant un succès avec probabilité p. Si X désigne le nombre de succès, quelle est la probabilité que X prenne la valeur k ?

A. P(X=k)=p^k(1−p)^{n-k+1}

B. P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}

C. P(X=k)=C(k,n)p^k(1−p)^{k−n}

D. P(X=k)=C(n,k)(1−p)^k p^{n−k}

Answer: (B)

Explicación

X suit une loi binomiale B(n,p), d’où P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}. Les distracteurs échangent p et 1−p ou utilisent des coefficients binomiaux incohérents.

36. Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n,p), quelle est l’expression de son écart-type ?

A. np(1−p)

B. √(np)·(1−p)

C. √(np(1−p))

D. np(1−p)^2

Answer: (C)

Explicación

Pour X~B(n,p), on a E[X]=np et l’écart-type vaut √(np(1−p)). Les autres propositions remplacent la racine par une autre forme ou modifient la dépendance à (1−p).