Hoja de repaso: Champs magnétiques et actions de Laplace

📋 Plan du Cours

1. Cartes et lignes de champ magnétique
2. Systèmes magnétiques et dipôles
3. Flux et tubes de champ
4. Courants, symétries et invariances
5. Force et moment de Laplace
6. Énergie et équilibre magnétique
7. Induction et auto-induction
8. Auto-induction et auto-inductance
9. Induction mutuelle et énergie magnétique
10. Transformateurs et transfert de puissance
11. Conversion électromécanique par induction
12. Modèles des machines électriques

📖 1. Cartes et lignes de champ magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de champ magnétique : Une courbe de l’espace à laquelle le champ magnétique est colinéaire en tout point.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Au voisinage d’un courant, les lignes de champ magnétique bouclent autour du courant selon la règle de la main droite ou du tire-bouchon.

📌 Le champ magnétique en un point est proportionnel à l’intensité qui circule dans le circuit.

Compléments

📌 Une ligne de champ magnétique qui boucle indique nécessairement qu’un courant traverse la boucle.

📌 En un point où deux lignes de champ magnétique se croisent, le champ magnétique est nul.

💡 Astuce mémo

Courant autour, champ proportionnel

📖 2. Systèmes magnétiques et dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation dipolaire : L’approximation dipolaire consiste à étudier le champ créé par un système magnétique de taille caractéristique L à des distances r très grandes devant L.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — À l’intérieur d’un solénoïde infini, le champ magnétique vaut $\vec B=\mu_0 n I\vec e_z$, tandis qu’il est nul à l’extérieur.

📐 Formule — Le champ magnétique créé par un fil infini parcouru par un courant I vaut $\vec B(M)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\vec e_\theta$.

📐 Formule — Dans l’approximation dipolaire, le champ créé au point P par un dipôle placé en O est $\vec B(P)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3(\vec M\cdot\vec r)\vec r-r^2\vec M}{r^5}$, avec $\vec r=\overrightarrow{OP}$.

📐 Formule — Pour un circuit à une maille parcouru par une intensité I, le moment dipolaire magnétique vaut $\vec M=I\vec S$, où $\vec S$ est le vecteur surface orienté selon le courant.

Compléments

• Les champs caractéristiques sont de 0,3 à 1 T pour les aimants au néodyme, de 6 T pour une IRM et de $0,5\times10^{-5}$ T, soit 0,5 gauss, pour le champ terrestre.

💡 Astuce mémo

Solénoïde, fil, dipôle

📖 3. Flux et tubes de champ

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux d’un champ de vecteur : Le flux d’un champ vectoriel $\vec B$ à travers une surface orientée Σ est $\Phi=\iint_{M\in\Sigma}\vec B(M)\cdot\mathrm d\vec S(M)$.
• Tube de champ : Une surface fermée constituée d’une surface latérale formée de lignes de champ et de deux surfaces d’entrée et de sortie.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul.

📌 Dans un tube de champ, les flux magnétiques à travers les surfaces d’entrée et de sortie sont égaux lorsqu’ils sont orientés dans le même sens.

Compléments

📌 Le champ magnétique tend à diminuer lorsque les lignes de champ s’écartent et à augmenter lorsqu’elles se resserrent.

💡 Astuce mémo

Le flux se conserve

📖 4. Courants, symétries et invariances

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité volumique de courant : $\vec j(M)=n(M)q(M)\vec v(M)$, où n est la densité volumique de particules, q leur charge et $\vec v$ leur vitesse.
• Plan de symétrie : Un plan est un plan de symétrie d’une distribution de courant si le vecteur courant au point symétrique est le symétrique du vecteur courant initial.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intensité traversant une surface orientée S vaut le flux de la densité volumique de courant : $I=\iint_S\vec j\cdot\mathrm d\vec S$.

📌 Une distribution linéique décrit un courant assimilé à un fil, une distribution surfacique décrit une nappe de courant et une distribution volumique décrit des charges en mouvement dans un volume.

📌 Pour une distribution de courant, un plan de symétrie impose que le courant soit contenu dans le plan, tandis qu’un plan d’antisymétrie impose qu’il lui soit orthogonal aux points du plan.

📌 Les invariances par rotation ou translation d’une distribution de courant sont conservées par le champ magnétique associé.

📌 Le champ magnétique est orthogonal aux plans de symétrie des courants et contenu dans leurs plans d’antisymétrie.

Compléments

📐 Formule — Pour une distribution surfacique, la densité surfacique de courant vaut $\vec j_S=n_Sq\vec v$.

💡 Astuce mémo

Causes et effets gardent leurs invariances

📖 5. Force et moment de Laplace

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La force de Laplace exercée sur un élément de circuit parcouru par I et plongé dans un champ magnétique vaut $\mathrm d\vec F=I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B$.

🔄 Processus — La force et le moment résultants de Laplace sur une branche s’obtiennent en intégrant respectivement $I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B$ et $\overrightarrow{AM}\wedge(I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B)$ le long de la branche.

📐 Formule — Pour un circuit fermé dans un champ magnétique uniforme, la résultante des forces de Laplace est nulle.

📐 Formule — Le moment résultant subi par un circuit fermé à une maille dans un champ uniforme vaut $\vec\Gamma_L=\vec M\wedge\vec B$.

Compléments

📐 Formule — Le double produit vectoriel vérifie $\vec u\wedge(\vec v\wedge\vec w)=(\vec u\cdot\vec w)\vec v-(\vec u\cdot\vec v)\vec w$.

💡 Astuce mémo

I dl vectoriel B

📖 6. Énergie et équilibre magnétique

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un circuit fermé de moment magnétique constant dans un champ uniforme, l’énergie potentielle de l’action de Laplace vaut $E_{P,L}=-\vec M\cdot\vec B$.

📐 Formule — Un dipôle magnétique rigide dans un champ uniforme subit un couple nul de force résultante et un moment $\vec\Gamma_L=\vec M\wedge\vec B$.

📌 Un système magnétique plongé dans un champ magnétique uniforme tend à aligner son moment magnétique dans le même sens et la même direction que le champ.

Compléments

• L’alignement du moment magnétique avec le champ est utilisé dans les boussoles et dans les moteurs synchrones.

💡 Astuce mémo

Le moment s’aligne sur B

📖 7. Induction et auto-induction

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : L’auto-induction est le phénomène d’induction produit dans un circuit par la variation de son propre flux magnétique.

📝 Points essentiels

• L’induction apparaît lorsqu’un circuit subit une variation de flux magnétique, provoquée soit par un champ variable avec circuit fixe, soit par le déplacement ou la déformation du circuit dans un champ constant.

📐 Formule — La loi de Faraday donne la force électromotrice induite par $e=-\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}$, avec une orientation cohérente entre la fem et la surface utilisée pour calculer le flux.

📌 Selon la loi de Lenz, le phénomène d’induction produit un effet qui s’oppose à la cause de la variation du flux.

📐 Formule — Le flux propre d’un conducteur parcouru par une intensité I s’écrit $\Phi_{propre}=LI$, où L est l’auto-inductance qui dépend de la géométrie du conducteur et du milieu.

📐 Formule — En convention récepteur, la tension aux bornes d’une inductance vaut $u=L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}$.

💡 Astuce mémo

Flux variable, courant opposé

📖 8. Auto-induction et auto-inductance

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-induction : L’auto-induction est le phénomène d’induction causé sur un circuit par la variation de son propre flux magnétique.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Le flux propre d’un circuit parcouru par une intensité I s’écrit ϕpropre = LI, où L est son auto-inductance.

Compléments

• L’auto-inductance L dépend de la géométrie du conducteur et du milieu dans lequel il se trouve, mais pas de l’intensité qui le parcourt.

📐 Formule — Pour une bobine longue de longueur D, de section S et comportant N spires, l’auto-inductance vaut L = μ₀N²S/D.

💡 Astuce mémo

Flux propre variable → fem opposée

📖 9. Induction mutuelle et énergie magnétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Induction mutuelle : L’induction mutuelle est le phénomène d’induction supplémentaire qui apparaît dans chacun de deux circuits parcourus par des intensités variables, en raison du flux créé par l’autre circuit.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux circuits, les flux sont la somme d’un flux propre et d’un flux mutuel : ϕΓ1 = ϕpropre,1 + ϕ2→1 et ϕΓ2 = ϕpropre,2 + ϕ1→2.

📐 Formule — Les flux mutuels sont proportionnels à l’intensité de l’autre circuit : ϕ2→1 = M2→1I2 et ϕ1→2 = M1→2I1.

📐 Formule — Les fem induites dans deux circuits couplés vérifient e1 = −L1 dI1/dt − M dI2/dt et e2 = −L2 dI2/dt − M dI1/dt.

📐 Formule — Un dipôle d’auto-inductance L parcouru par un courant I stocke l’énergie magnétique Emag = 1/2 LI².

📐 Formule — Deux dipôles en induction mutuelle stockent l’énergie totale Emag = 1/2 L1I1² + 1/2 L2I2² + MI1I2.

Compléments

📐 Formule — Lorsque les orientations sont choisies de manière cohérente, les coefficients d’induction mutuelle sont égaux et vérifient M = M1→2 = M2→1.

📌 Le coefficient d’induction mutuelle vérifie M ≤ √(L1L2) ; lorsque M = √(L1L2), les deux dipôles sont en influence totale.

📐 Formule — La densité d’énergie magnétique dans un champ B vaut εmag = B²/(2μ₀), et l’énergie élémentaire dans un volume d³τ vaut dEmag = B²d³τ/(2μ₀).

💡 Astuce mémo

Propre + mutuel = énergie stockée

📖 10. Transformateurs et transfert de puissance

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformateur : Utilise l’induction mutuelle pour transférer sans contact de la puissance d’une bobine primaire vers une bobine secondaire.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Le rapport de transformation en tension est m = u2/u1, le rapport en courant est mI = i2/i1 et le rendement vaut η = Pfournie,secondaire/Preçue,primaire.

📌 Un transformateur idéal a un rendement égal à 1 et ne présente aucune perte de puissance.

📌 Un transformateur est élévateur de tension si m > 1, abaisseur de tension si m < 1 et d’isolement si m = 1.

📐 Formule — Pour un transformateur idéal constitué de deux bobines de nombres de spires N1 et N2, on a m = u2/u1 = i1/i2 = N2/N1.

Compléments

• L’influence totale d’un transformateur idéal suppose notamment un flux commun aux deux bobines, la négligence des pertes par effet Joule et la négligence de l’auto-induction propre des bobines.

💡 Astuce mémo

Tension ↑, courant ↓

📖 11. Conversion électromécanique par induction

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Dans un circuit mobile placé dans un champ magnétique constant, le mouvement fait varier le flux, ce qui crée une fem ; si le circuit est fermé, un courant apparaît et produit une force de Laplace sur le mobile.

📐 Formule — Sous champ magnétique constant, la puissance fournie à la fem d’induction est égale à la puissance reçue par l’action de Laplace : ei = FLv.

📌 Dans un moteur électrique, la puissance électrique est convertie en puissance mécanique, tandis que dans une génératrice, la puissance mécanique est convertie en puissance électrique.

🔄 Processus — L’étude d’un circuit mobile ou déformable combine une loi mécanique et une loi des mailles intégrant la loi de Faraday, avec une orientation de la fem cohérente avec le vecteur surface.

Compléments

• Les machines électromécaniques comprennent les machines linéaires, synchrones, asynchrones et à courant continu.

💡 Astuce mémo

Mouvement → flux → fem → force

📖 12. Modèles des machines électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Machine à courant continu : Comporte un aimant permanent sur le stator, qui crée un champ magnétique constant dans un entrefer, et un rotor conducteur relié à un circuit extérieur.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une machine à courant continu, le moment des actions de Laplace et la fem induite sont modélisés par ΓL = Ki et e = Kω, où K est le coefficient de couple.

🔄 Processus — Une machine à courant continu fonctionne en moteur lorsque le circuit extérieur fournit de l’énergie au rotor et en génératrice lorsque le rotor fournit de l’énergie électrique au circuit extérieur.

Compléments

📐 Formule — Le modèle électrique d’une machine à courant continu peut ajouter en série avec la fem induite une résistance R et une inductance L.

📐 Formule — Pour un transformateur idéal, le rapport d’impédance vu au primaire d’une charge Z branchée au secondaire est Zeq = Z/m².

💡 Astuce mémo

ΓL = Ki et e = Kω

📊 Tableaux de synthèse

Symétries des courants et du champ magnétique

Symétrie des courants	Courant sur le plan	Champ magnétique
Plan de symétrie	Contenu dans le plan	Orthogonal au plan
Plan d’antisymétrie	Orthogonal au plan	Contenu dans le plan

Types de transformateurs

Type	Condition sur m	Fonction
Élévateur de tension	m > 1	Augmenter la tension secondaire
Abaisseur de tension	m < 1	Diminuer la tension secondaire
Isolement	m = 1	Supprimer le contact électrique direct

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le sens des lignes ne se détermine pas indépendamment du sens du courant.
2. La direction est azimutale et non radiale.
3. La densité de courant est un vecteur, contrairement à la densité de charge.
4. Le produit est vectoriel et non scalaire.
5. Le signe est opposé au produit scalaire $\vec M\cdot\vec B$.
6. Un champ magnétique constant dans un circuit immobile ne suffit pas à produire une fem induite.
7. L’auto-induction provient du flux propre du circuit, tandis que l’induction mutuelle provient du flux créé par un autre circuit.