Hoja de repaso: Changement de référentiel

📋 Plan du Cours

1. Notion et choix du référentiel
2. Translations et rotations des référentiels
3. Positions et transformation de Galilée
4. Point coïncident et vitesses
5. Compositions en translation et rotation
6. Composition des accélérations

📖 1. Notion et choix du référentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Association d’une horloge, qui mesure le temps, et d’un repère, qui mesure la position.
• Repère : Constitué d’une origine, souvent notée O, et d’une base orthogonale.

★ À maîtriser

📌 En mécanique classique, lorsque les vitesses sont petites devant la célérité c de la lumière dans le vide, l’écoulement du temps est indépendant de l’observateur et seul le repère suffit pour caractériser un référentiel.

• La trajectoire de la valve d’une roue de vélo est une cycloïde dans le référentiel terrestre mais un cercle dans le référentiel lié au vélo.

Compléments

• Le choix d’un référentiel est toujours la première étape d’un problème de mécanique.

• Les référentiels courants à connaître sont:

  • le référentiel terrestre
  • le référentiel géocentrique
  • le référentiel héliocentrique
  • le référentiel de Copernic

💡 Astuce mémo

Spectateur et pilote : le mouvement dépend de l’observateur.

📖 2. Translations et rotations des référentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiels en translation : Deux référentiels sont en translation si les axes liés au référentiel R′ ont des directions fixes vues du référentiel R.
• Rotation autour d’un axe fixe : Deux référentiels sont en rotation autour d’un axe fixe Δ si tous les points fixes de R′ ont un mouvement circulaire dans R autour de Δ.

★ À maîtriser

📌 Une translation rectiligne est caractérisée par un mouvement rectiligne de O′, tandis qu’une translation circulaire est caractérisée par un mouvement circulaire de O′.

📐 Formule — Pour un référentiel R′ en rotation à pulsation ω autour de l’axe $\vec u_z$, le vecteur rotation vaut $\vec\Omega_{R'/R}=\omega\vec u_z=\dot\theta\vec u_z$.

Compléments

• Le référentiel géocentrique est en translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique, comme le référentiel héliocentrique par rapport à celui de Copernic.

📐 Formule — Pour un point fixe M de R′ situé à la distance r de l’axe, $\vec v_R(M)=r\dot\theta\vec u_\theta=\vec\Omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{OM}$ et $\vec a_R(M)=-r\dot\theta^2\vec u_r+r\ddot\theta\vec u_\theta$.

💡 Astuce mémo

Translation : axes parallèles ; rotation : points en cercles autour d’un axe.

📖 3. Positions et transformation de Galilée

★ À maîtriser

📐 Formule — La composition des positions s’écrit $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'M}$ selon la relation de Chasles.

📐 Formule — Pour une translation rectiligne uniforme de vitesse $\vec V=V\vec u_x$, la transformation de Galilée est $x'=x-Vt$, $y'=y$ et $z'=z$.

• La transformation de Galilée suppose des vitesses très petites devant c et un temps absolu identique dans les deux référentiels.

Compléments

• Sur le trottoir roulant rapide, Alice située à 120 m après 30 s atteint la fin en 60 s et a une vitesse de 4 m/s dans R, tandis que Bob situé à 90 m atteint la fin en 45 s et a une vitesse de 3 m/s dans R.

💡 Astuce mémo

Position dans R = déplacement de l’origine + position dans R′.

📖 4. Point coïncident et vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Point coïncident : Point confondu avec M à cet instant et immobile dans R′, donc $\vec v_{R'}(P_t)=\vec 0$.
• Vitesse d’entraînement : Vitesse du point coïncident dans R, soit $\vec v_e(t)=\vec v_R(P_t)$.
• Accélération d’entraînement : Accélération du point coïncident dans R, soit $\vec a_e(t)=\vec a_R(P_t)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi générale de composition des vitesses est $\vec v_R(M)=\vec v_{R'}(M)+\vec v_R(P_t)=\vec v_r+\vec v_e$.

💡 Astuce mémo

Vitesse absolue = vitesse relative + vitesse d’entraînement.

📖 5. Compositions en translation et rotation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une translation de R′ à vitesse $\vec V=\vec v_{R'/R}$, tous les points fixes de R′ ont la même vitesse dans R et $\vec v_R(M)=\vec v_{R'}(M)+\vec V$.

📐 Formule — Pour une rotation uniforme autour d’un axe fixe à vitesse angulaire ω, la vitesse d’entraînement vaut $\vec v_e=HM\omega\vec u_\theta=\vec\Omega\wedge\overrightarrow{OM}$.

Compléments

• Pour la pluie observée depuis une voiture roulant à 50 km/h, la vitesse de la pluie vaut 60 km/h par rapport au sol et 78 km/h par rapport à la voiture.

💡 Astuce mémo

Translation : vitesse d’entraînement commune ; rotation : vitesse tangentielle.

📖 6. Composition des accélérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération de Coriolis : $\vec a_c=2\vec\Omega\wedge\vec v_r$, où $\vec v_r=\vec v_{R'}(M)$ est la vitesse relative.

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi générale de composition des accélérations est $\vec a_R(M)=\vec a_{R'}(M)+\vec a_R(P_t)+2\vec\Omega\wedge\vec v_{R'}(M)=\vec a_r+\vec a_e+\vec a_c$.

📌 Pour une translation, le vecteur rotation est nul, donc l’accélération de Coriolis est nulle et $\vec a_R(M)=\vec a_{R'}(M)+\vec A$.

📐 Formule — Pour une rotation uniforme autour d’un axe fixe, l’accélération d’entraînement vaut $\vec a_e=-HM\omega^2\vec u_r$ et la composition devient $\vec a_R(M)=\vec a_{R'}(M)-HM\omega^2\vec u_r+2\vec\Omega\wedge\vec v_{R'}(M)$.

Compléments

• Dans le manège, lorsque le directeur marche radialement à vitesse v0 constante, son accélération dans le référentiel du sol vaut $\vec a_R(M)=-v_0t\omega^2\vec u_r+2\omega v_0\vec u_\theta$.

💡 Astuce mémo

Relative + entraînement + Coriolis.

📊 Tableaux de synthèse

Types de mouvement des référentiels

Type	Critère	Trajectoire des points fixes
Translation rectiligne	O′ se déplace en ligne droite	Droites parallèles
Translation circulaire	O′ se déplace sur un cercle	Cercles de même rayon, centres différents
Rotation autour d’un axe fixe	Les points tournent autour de Δ	Cercles autour de Δ