Hoja de repaso: Introduction aux dérivées et variations

📋 Plan du Cours

1. Sécante et tangente
2. Nombre dérivé en un point
3. Équation d’une tangente
4. Vitesse instantanée
5. Fonction dérivée et dérivabilité
6. Dérivées usuelles et règles simples
7. Signe de la dérivée et variations

📖 1. Sécante et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Sécante à une courbe : Une sécante est la droite passant par deux points distincts de la courbe et dont la pente vaut le quotient des variations en ordonnées et en abscisses.
• Tangente à une courbe : La tangente en un point est la position limite des sécantes quand le point mobile se rapproche du point de tangence.
• Coefficient directeur d’une sécante : Le coefficient directeur d’une sécante est le rapport $\Delta y/\Delta x=(f(B)-f(A))/(B-A)$ entre deux points de la courbe.

📝 Points essentiels

• La pente de la sécante passant par $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ vaut $(f(b)-f(a))/(b-a)$ lorsque $a\neq b$.
• Quand $M(x;f(x))$ se rapproche de $A(a;f(a))$, les sécantes $(AM)$ tendent vers la tangente en $A$.
• Par agrandissements autour de $A$, la courbe devient presque confondue avec la tangente.

💡 Astuce mémo

Sécante = 2 points, tangente = 1 point limite (quand on rapproche).

📖 2. Nombre dérivé en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$, noté $f'(a)$.
• Tangente en $a$ : La tangente au point d’abscisse $a$ est la droite associée au point de la courbe $A(a;f(a))$ si elle existe.

📝 Points essentiels

• Si la tangente à la courbe en $A$ (d’abscisse $a$) existe et n’est pas verticale, son coefficient directeur est $f'(a)$.
• Exemple : si $\Delta y/\Delta x=2/1$, alors $f'(3)=2$ est la pente de la tangente au point d’abscisse 3.

💡 Astuce mémo

Nombre dérivé = pente de la tangente en ce point (le “vrai” taux instantané).

📖 3. Équation d’une tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite de tangente : L’équation réduite d’une tangente au point d’abscisse $a$ s’écrit à l’aide de $f(a)$ et de la pente $f'(a)$.

📝 Points essentiels

• Si la tangente en $A$ n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, alors son équation réduite est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Dans l’exercice, les équations des tangentes se déterminent à partir des pentes lues (ou calculées) en $a$ et des valeurs $f(a)$ correspondantes.

💡 Astuce mémo

Tangente : $y=\text{pente}\times(x-a)+f(a)$ (formule “point-pente”).

📖 4. Vitesse instantanée

🔑 Notions clés & Définitions

• Interprétation de $f'(a)$ : Quand $t$ représente le temps, $f'(a)$ donne la vitesse instantanée à l’instant $t=a$.
• Vitesse de disparition : Une vitesse de disparition est un nombre pris négatif dans l’interprétation donnée, cohérente avec les vitesses instantanées lues sur les tangentes.

📝 Points essentiels

• Pour une évolution modélisée par $f(t)$, la vitesse instantanée à $t=a$ est le nombre dérivé $f'(a)$.
• Si la tangente au point d’abscisse $1$ a une pente $m$, alors la vitesse instantanée à $1$ h vaut $m$ (négative pour une disparition).
• Si la tangente au point d’abscisse $4$ a pour équation $y=-\tfrac12 t+4$, alors la vitesse instantanée de disparition à $4$ h est $-\tfrac12$.

💡 Astuce mémo

Vitesse instantanée = pente de la tangente du modèle temporel.

📖 5. Fonction dérivée et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ si elle admet un nombre dérivé en tout point de $I$.
• Fonction dérivée $f'$ : La fonction dérivée associe à chaque $x\in I$ le nombre dérivé $f'(x)$, soit la pente de la tangente en $x$ sur la courbe.
• Pente comme lecture graphique : La valeur $f'(x)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f'$ est définie sur $I$ et vérifie $f':x\mapsto f'(x)$.
• Graphiquement, $f'(x)$ est la pente de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $x$.
• Le sens des variations se relie ensuite au signe de $f'(x)$ sur l’intervalle considéré.

💡 Astuce mémo

La courbe $f$ donne les tangentes, et $f'$ rassemble leurs pentes.

📖 6. Dérivées usuelles et règles simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de la fonction constante : La dérivée d’une fonction constante $f(x)=k$ est nulle pour tout $x$.
• Dérivée de $x^2$ : La dérivée de la fonction carrée $f(x)=x^2$ vaut $2x$.
• Règle de dérivation d’une somme : La dérivée d’une somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées.
• Règle du produit par un réel : Multiplier une fonction dérivable par un réel $k$ multiplie aussi sa dérivée par $k$.

📝 Points essentiels

• Dérivées usuelles données : $x\mapsto 0,1,2x,3x^2$ pour $k,x,x^2,x^3$.
• Pour $f(x)=k\,u(x)$ avec $k$ réel constant, on a $f'(x)=k\,u'(x)$.
• Pour $f(x)=u(x)+v(x)$, on a $f'(x)=u'(x)+v'(x)$.
• Exemples : si $f(x)=x^2+x$, alors $f'(x)=2x+1$ et si $g(x)=4x^3$, alors $g'(x)=12x^2$.
• Dans la liste d’exercices, la dérivée se calcule en appliquant ces règles et en dérivant chaque monôme terme à terme.

💡 Astuce mémo

Somme = somme, réel×fonction = réel×dérivée (et on dérive chaque puissance).

📖 7. Signe de la dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance via le signe : Sur un intervalle $I$, une fonction est croissante lorsque sa dérivée est non négative sur tout $I$.
• Décroissance via le signe : Sur un intervalle $I$, une fonction est décroissante lorsque sa dérivée est non positive sur tout $I$.
• Fonction constante via le signe : Sur un intervalle $I$, une fonction est constante lorsque sa dérivée est nulle en tout point de $I$.

📝 Points essentiels

• Sur $I=[a;b]$, $f$ est croissante sur $I$ ssi $f'(x)\ge 0$ pour tout $x\in I$.
• Sur $I=[a;b]$, $f$ est décroissante sur $I$ ssi $f'(x)\le 0$ pour tout $x\in I$.
• Sur $I=[a;b]$, $f$ est constante sur $I$ ssi $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$.
• Méthode : calculer $f'$, étudier le signe de $f'(x)$, puis construire le tableau de variations.
• Exemple : pour $f(x)=x^3$, on a $f'(x)=3x^2\ge 0$, donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ : + → hausse, − → baisse, 0 → plat.

📊 Tableaux de synthèse

Dérivées usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$

Règles simples de dérivation

Opération	Dérivée
Somme $u+v$	$u'+v'$
Produit par un réel $k\,u$	$k\,u'$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la pente de la sécante $(f(b)-f(a))/(b-a)$ avec le nombre dérivé : le second correspond à la tangente (limite).
2. Utiliser l’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ quand la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées, ce qui n’est pas le cas de la formule donnée.
3. Prendre $f'(a)$ pour une valeur de $f$ ; $f'(a)$ est une pente (tangente), pas la coordonnée en ordonnée du point de tangence.
4. Lire le mauvais sens de signe en vitesse de disparition : on attend un nombre négatif pour une disparition.
5. Oublier que le critère de variation utilise le signe de $f'(x)$ sur tout l’intervalle (pas seulement en quelques points).
6. Dériver $x^3$ comme si c’était $3x$ au lieu de $3x^2$, ou $x^2$ comme si c’était $x$.
7. Appliquer une règle de somme comme produit (ou inversement) : $\,(u+v)'$ n’est pas $u'\,v'$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir la sécante et exprimer sa pente $(f(b)-f(a))/(b-a)$.
2. Savoir décrire la construction limite des sécantes vers la tangente en un point.
3. Savoir donner la définition du nombre dérivé $f'(a)$ comme pente de la tangente en $a$.
4. Savoir calculer $f'(a)$ à partir d’un rapport de variations fourni ($\Delta y/\Delta x$).
5. Savoir écrire l’équation réduite d’une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
6. Savoir interpréter $f'(a)$ comme vitesse instantanée quand la variable est le temps $t$.
7. Savoir appliquer la lecture des tangentes pour trouver des vitesses (en respectant le signe demandé pour une disparition).
8. Savoir définir la dérivabilité sur un intervalle et la fonction dérivée $f'$ comme association $x\mapsto f'(x)$.
9. Savoir utiliser les dérivées usuelles constantes, identité, $x^2$ et $x^3$.
10. Savoir appliquer les règles : $(u+v)'=u'+v'$ et $(k\,u)'=k\,u'$.
11. Savoir relier le signe de $f'(x)$ aux variations : croissante si $\ge 0$, décroissante si $\le 0$, constante si $=0$ sur tout l’intervalle.
12. Savoir produire un tableau de variations à partir d’un factorisation du type $f'(x)=(3x+4)(x-1)$ puis le signe sur $[-2;2]$.