Hoja de repaso: Introduction aux équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition et notion de solution
2. Notations des dérivées et variable temps
3. Types d’équations différentielles premier et linéaire
4. Modèles à coefficients constants du premier ordre
5. Équation du premier ordre sans second membre
6. Équation linéaire du premier ordre avec second membre
7. Équation différentielle du second ordre harmonique

📖 1. Définition et notion de solution

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une équation différentielle relie une fonction inconnue y et une ou plusieurs de ses dérivées successives.
• Solution d’une équation différentielle : Une solution est une fonction qui vérifie l’égalité imposée par l’équation différentielle.
• Résoudre une équation différentielle : Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer toutes les fonctions solutions qui satisfont l’équation.
• Inconnue fonction y : L’inconnue d’une équation différentielle est une fonction y, pas un simple nombre.

📝 Points essentiels

• Une équation différentielle contient des dérivées successives de y et éventuellement y elle-même.
• Une fonction qui vérifie l’équation différentielle est appelée solution de cette équation.
• Résoudre une équation différentielle revient à trouver l’ensemble de toutes les fonctions solutions.
• Exemple type : résoudre f'=f revient à chercher les fonctions égales à leurs dérivées.
• La notation y est utilisée à la place de f pour simplifier l’écriture des dérivées et des solutions.

💡 Astuce mémo

Solution = “y qui rend vrai” l’équation (comme une égalité à vérifier).

📖 2. Notations des dérivées et variable temps

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée première y' : La dérivée première y' est la dérivée de y par rapport à la variable choisie.
• Dérivée seconde y'' : La dérivée seconde y'' est la dérivée de y' et correspond à la dérivée seconde de y.
• Dérivée n-ième y(n) : La dérivée n-ième y(n) désigne la dérivée d’ordre n de y, pour n entier naturel.
• Notation physique dy/dt : En physique, la dérivée de y par rapport au temps s’écrit dy/dt(t).

📝 Points essentiels

• Si y est dérivable suffisamment de fois, on peut définir y', y'', puis plus généralement y(n).
• On peut écrire la relation sous forme y'(t)=y(t) pour expliciter la variable.
• La variable t est utilisée quand le modèle dépend du temps.
• On peut aussi utiliser une autre variable, par exemple x, selon le contexte du problème.
• La notation physique de la dérivée est dy/dt(t), ce qui transforme y'=y en dy/dt(t)=y(t).

💡 Astuce mémo

Physique : dy/dt = “dérivée par rapport au temps”.

📖 3. Types d’équations différentielles premier et linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier ordre : Une équation différentielle du premier ordre ne contient que la fonction y et sa dérivée y'.
• Équation du second ordre : Une équation différentielle du second ordre ne contient que y, sa dérivée y' et sa dérivée seconde y''.
• Équation linéaire : Une équation différentielle linéaire s’écrit comme une combinaison linéaire de y et de ses dérivées, égale à 0.
• Équation non linéaire : Une équation différentielle est non linéaire quand elle contient des termes qui ne dépendent pas linéairement de y et de ses dérivées.

📝 Points essentiels

• Quand une équation ne contient que y et y', elle est du premier ordre.
• Quand une équation ne contient que y, y' et y'', elle est du second ordre.
• Une forme linéaire typique est y + a y' + b y'' + … = 0.
• Une équation du type y' + y^2 = 0 n’est pas linéaire car y apparaît de façon non linéaire.
• Le chapitre étudie uniquement les équations du premier ordre à coefficients constants.

💡 Astuce mémo

Ordre = “dernière dérivée présente” ; linéaire = “y et dérivées seulement au 1er degré”.

📖 4. Modèles à coefficients constants du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient constant : Un coefficient constant est un nombre fixe qui multiplie y ou ses dérivées dans l’équation.
• Équation y'=-ay : Une équation y'=-ay modélise une variation proportionnelle à la valeur courante, avec un facteur constant a.
• Pression atmosphérique : La pression atmosphérique est modélisée par une équation différentielle reliant p(h) et sa dérivée à l’altitude h.
• Désintégration radioactive : La désintégration radioactive est modélisée par une équation reliant N(t) et sa dérivée au temps t.

📝 Points essentiels

• Le chapitre étudie des équations du premier ordre à coefficients constants.
• Un modèle central est y'=-ay où y est dérivable sur un intervalle I.
• Exemple pression : p'(h)=−(g/k)p(h) avec p(h) pression à l’altitude h, g accélération de pesanteur et k constante.
• Exemple radium : N'(t)=−aN(t) où N(t) est le nombre d’atomes à l’instant t et a est une constante positive.
• Ces exemples illustrent que les modèles physiques dépendent du temps (ou d’une variable comme l’altitude).

💡 Astuce mémo

Proportionnel à la valeur : dérivée = −(constante) × fonction.

📖 5. Équation du premier ordre sans second membre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y' + a y = 0 : Une équation y' + a y = 0 relie la dérivée de y à une combinaison linéaire de y avec un coefficient constant a.
• Constante d’intégration k : La constante k apparaît dans la famille de solutions et se détermine avec une condition initiale.
• Condition initiale f(x0)=y0 : Une condition initiale fixe la valeur de la solution en un point x0, égale à y0.

📝 Points essentiels

• Les solutions de y' + a y = 0 sont définies sur ℝ et s’écrivent y(x)=k e^{-ax}.
• La constante k est un réel quelconque tant qu’aucune condition initiale n’est imposée.
• Si on impose f(x0)=y0, il existe une solution et une seule.
• Exemple : résoudre y'−3y=0 revient à écrire y' + a y = 0 avec a=−3.
• Pour y'−3y=0, la solution générale est y(x)=k e^{3x}.
• Avec f(0)=3 pour y'−3y=0, on obtient k=3 donc y(x)=3e^{3x}.

💡 Astuce mémo

Sans second membre : exponentielle k e^{-ax} ; la condition initiale fixe k.

📖 6. Équation linéaire du premier ordre avec second membre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation y' + a y = b : Une équation y' + a y = b est une équation linéaire du premier ordre avec un terme constant b.
• Solution générale avec second membre : La solution générale combine une exponentielle et une valeur constante liée à b et a.
• Constante réelle k : La constante k paramètre la solution générale et se fixe par une condition initiale.
• Condition initiale f(x0)=y0 : Une condition initiale impose la valeur de la solution en x0 et rend la solution unique.

📝 Points essentiels

• Les solutions de y' + a y = b sont définies sur ℝ et s’écrivent y(x)=k e^{-ax} + b/a.
• La constante k est un réel quelconque tant qu’aucune condition initiale n’est donnée.
• Si on impose f(x0)=y0, il existe une solution et une seule.
• Exemple : y' + 2y = 3 donne a=2 et b=3.
• La solution générale devient y(x)=k e^{-2x} + 3/2.
• Avec f(0)=2, on obtient k=1/2 donc y(x)= (1/2)e^{-2x} + 3/2.

💡 Astuce mémo

Second membre constant : exponentielle + “plateau” b/a.

📖 7. Équation différentielle du second ordre harmonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation harmonique y'' + w^2 y = 0 : Une équation harmonique du second ordre relie la dérivée seconde de y à y via le paramètre w.
• Pulsation w : La pulsation w est un réel donné, avec w>0 dans le cadre présenté.
• Solution trigonométrique : La solution de l’équation harmonique s’exprime comme combinaison de cos(w x) et sin(w x).
• Constantes A et B : Les constantes A et B paramètrent la famille de solutions de l’équation harmonique.

📝 Points essentiels

• Pour w>0, les solutions de y'' + w^2 y = 0 sont définies sur ℝ.
• La forme générale est f(x)=A cos(w x)+B sin(w x).
• Imposer deux conditions initiales f(x0)=y0 et f'(x0)=y1 rend la solution unique.
• Exemple : 4y'' + 9y = 0 se ramène à y'' + (3/2)^2 y = 0.
• On obtient f(x)=A cos((3/2)x)+B sin((3/2)x).
• Avec f(π/3)=√3 et f'(π)=9/2, on trouve B=√3 et A=3, donc f(x)=3cos((3/2)x)+√3 sin((3/2)x).

💡 Astuce mémo

Harmonique : cos + sin, et w multiplie x.

📊 Tableaux de synthèse

Ordre et forme de l’équation

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’ordre de l’équation : le premier ordre ne contient pas y'' et le second ordre contient y''.
2. Croire que y' + a y = 0 et y' = a y ont la même écriture de solution sans gérer le signe dans l’exponentielle.
3. Oublier que la constante k se détermine uniquement quand une condition initiale est donnée.
4. Confondre la forme de la solution avec second membre : il y a un terme constant b/a en plus de l’exponentielle.
5. Penser que l’équation harmonique se résout comme une exponentielle : ici la solution est trigonométrique (cos et sin).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une équation différentielle et distinguer inconnue fonction y et solutions.
2. Savoir lire et écrire les notations de dérivées : y', y'', y(n) et la notation physique dy/dt(t).
3. Savoir classer une équation en premier ordre ou second ordre selon la présence de y''.
4. Savoir reconnaître une équation linéaire via une combinaison linéaire de y et de ses dérivées.
5. Savoir donner la solution générale de y' + a y = 0 : y(x)=k e^{-ax}.
6. Savoir utiliser une condition initiale f(x0)=y0 pour déterminer k et obtenir l’unique solution.
7. Savoir donner la solution générale de y' + a y = b : y(x)=k e^{-ax}+b/a et appliquer une condition initiale.
8. Savoir donner la solution générale de y'' + w^2 y = 0 : f(x)=A cos(w x)+B sin(w x).
9. Savoir utiliser deux conditions initiales pour déterminer A et B dans un exemple de second ordre harmonique.