Hoja de repaso: Introduction aux fonctions et leur représentation

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation d’une fonction
2. Image et antécédent
3. Représentation graphique
4. Équations et inéquations graphiques
5. Taux de variation
6. Fonctions monotones

📖 1. Définition et notation d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction f : Une fonction associe à chaque nombre réel x un unique nombre réel, noté f(x).
• Notation x ↦ f(x) : La notation x ↦ f(x) indique que l’entrée x est transformée en la valeur f(x).
• Écriture y = f(x) : L’écriture y = f(x) exprime que la variable y représente la valeur de sortie f(x) pour une entrée x.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction, chaque x a une unique image f(x) qui est un nombre réel.
• Une expression littérale comme f(x)=3x signifie que la sortie vaut 3 fois l’entrée x.

💡 Astuce mémo

Une fonction donne une seule sortie pour une seule entrée : x → f(x).

📖 2. Image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Une image est la valeur obtenue quand on remplace l’entrée par une valeur donnée dans la fonction.
• Antécédent : Un antécédent est une valeur d’entrée qui produit une image donnée via la fonction.
• Relation f(2)=5 : L’égalité f(2)=5 signifie que l’entrée 2 mène à la sortie 5 par la fonction.

📝 Points essentiels

• Dire que f(2)=5 revient à dire que 2 est un antécédent de 5 et que 5 est l’image de 2.
• Un nombre a une unique image mais peut avoir plusieurs antécédents.
• Pour g(x)=x²−2, l’image de 6 vaut g(6)=34.
• Pour f(x)=2x−3, un antécédent de −5 vérifie 2x−3=−5, donc x=−1.

💡 Astuce mémo

Image : tu pars de x ; Antécédent : tu reviens de y vers x.

📖 3. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative d’une fonction est l’ensemble des points du plan de coordonnées (x ; f(x)).
• Tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste des entrées x et les sorties correspondantes f(x).
• Coordonnées (x ; f(x)) : Chaque point de la courbe a pour abscisse x et pour ordonnée la valeur f(x) associée.

📝 Points essentiels

• Tracer une courbe consiste à placer les points issus d’un tableau et à les relier.
• L’équation d’une courbe peut s’écrire y=f(x).
• Pour f(x)=5x−x², les points affichés avec x=1,2,3 sont (1;4), (2;6) et (3;6).
• Par lecture graphique, les images f(x) se lisent sur l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

Abscisse = entrée x ; Ordonnée = image f(x).

📖 4. Équations et inéquations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Résoudre graphiquement une équation : Résoudre graphiquement une équation consiste à trouver les abscisses des points où l’ordonnée atteint la valeur demandée.
• Solutions approchées : En lecture graphique, les solutions obtenues par le tracé de la courbe sont approximées.
• Inéquation f(x)>4 : L’inéquation f(x)>4 demande les x pour lesquels l’ordonnée de la courbe est strictement supérieure à 4.

📝 Points essentiels

• Résoudre 5x−x²=4 revient à chercher les antécédents de 4, donc les abscisses où l’ordonnée vaut 4.
• Dans le cas 5x−x²=4, les solutions lues sont x=1 ou x=4, donc S={1 ; 4}.
• Graphiquement, f(x)=7 ne semble pas avoir de solution si la courbe ne présente pas d’ordonnée 7.
• Résoudre 5x−x²>4 revient à déterminer l’ensemble des x pour lesquels l’ordonnée est strictement supérieure à 4, donc S=]1 ; 4[.

💡 Astuce mémo

Égalité : on repère la hauteur ; Inégalité : on repère la zone au-dessus (ou au-dessous).

📖 5. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et b est le quotient (f(b)−f(a))/(b−a).
• Pente de la droite : Le taux de variation correspond à la pente de la droite reliant les points de la courbe d’abscisses a et b.
• Interprétation géométrique : L’interprétation géométrique relie le taux de variation à la pente de la sécante entre deux points.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre a et b est (f(b)−f(a))/(b−a), donc il nécessite b≠a.
• Si f(x)=2x²+1, alors f(3)=19 et f(1)=3, d’où le taux entre 1 et 3 vaut (19−3)/2=8.
• Dire que le taux vaut 8 signifie que la pente de la droite passant par les points d’abscisses 1 et 3 est 8.

💡 Astuce mémo

Taux = pente : (variation de f)/(variation de x).

📖 6. Fonctions monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur un intervalle I si elle y est croissante, ou décroissante, ou constante.
• Croissance sur I : Une fonction est croissante sur I si, en allant vers la droite sur l’intervalle, ses valeurs ne diminuent pas.
• Décroissance sur I : Une fonction est décroissante sur I si, en allant vers la droite sur l’intervalle, ses valeurs ne augmentent pas.
• Constante sur I : Une fonction est constante sur I si sa valeur ne change pas quand x varie sur l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Si le taux de variation entre deux nombres quelconques de I est positif, alors la fonction est strictement croissante sur I.
• Si ce taux est négatif, alors la fonction est strictement décroissante sur I.
• Si ce taux est nul, alors la fonction est constante sur I.
• Pour f(x)=5x−3, le taux entre a et b vaut 5(b−a)/(b−a)=5, donc f est strictement croissante sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Signe du taux : + → strictement croissante ; − → strictement décroissante ; 0 → constante.

📊 Tableaux de synthèse

Image vs antécédent

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est une sortie f(x) alors que l’antécédent est une entrée x qui mène à cette sortie.
2. Croire qu’un nombre peut avoir plusieurs images : une entrée x possède une unique image f(x).
3. Résoudre une équation comme une inéquation : f(x)=4 ne demande pas une zone de hauteur, mais des points où l’ordonnée vaut exactement 4.
4. Oublier que les solutions graphiques sont approximées : le tracé ne garantit pas l’unicité ni l’exhaustivité au-delà du cadre visible.
5. Mélanger l’idée de pente avec le calcul algébrique : le taux de variation se calcule avec (f(b)−f(a))/(b−a).
6. Interpréter mal le signe du taux : taux positif implique strictement croissante, taux négatif strictement décroissante, taux nul constante.

✅ Checklist Examen

1. Savoir expliquer ce que signifie qu’une fonction associe à tout réel x un unique réel f(x).
2. Savoir utiliser les notations x ↦ f(x) et y=f(x) pour décrire une fonction.
3. Être capable de dire l’image de 2 à partir de l’égalité f(2)=5.
4. Savoir déterminer un antécédent de la valeur -5 pour une fonction du type f(x)=2x−3.
5. Calculer une image par calcul avec une fonction donnée, par exemple g(6) pour g(x)=x²−2.
6. Savoir décrire comment construire une courbe à partir d’un tableau de valeurs (x, f(x)).
7. Savoir relier les notions : équation d’une courbe peut s’écrire y=f(x) et les ordonnées sont les images.
8. Résoudre graphiquement une équation du type 5x−x²=4 en repérant où l’ordonnée vaut 4 et en donnant S sous forme d’ensemble.
9. Résoudre graphiquement une inéquation stricte du type 5x−x²>4 en décrivant l’intervalle de x correspondant.
10. Calculer un taux de variation avec la formule (f(b)−f(a))/(b−a) et l’interpréter comme pente.
11. Utiliser le signe du taux pour conclure : strictement croissante, strictement décroissante ou constante sur un intervalle.
12. Démontrer la monotonie d’une fonction linéaire du type f(x)=5x−3 via le calcul du taux entre a et b.