Hoja de repaso: Introduction aux fonctions quadratiques

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique du trinôme
2. Discriminant et solutions
3. Racines et factorisation
4. Signe du trinôme
5. Parabole et sommet
6. Tableau de variations

📖 1. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Une écriture d’un trinôme du second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ qui met en évidence sommet et axe de symétrie.
• Sommet $S(\alpha;\beta)$ : Le point $S(\alpha;\beta)$ correspond au minimum ou maximum de la parabole selon le signe de $a$.
• **Valeur centrale $\alpha** : Le réel$\alpha$vaut$\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et repère la position horizontale du sommet.
• **Terme constant $\beta** : Le réel$\beta$vaut$\beta=f(\alpha)$ et donne l’ordonnée du sommet.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, on a $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Une fois sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$, l’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$.
• Les transformations par complétion du carré consistent à regrouper les termes pour obtenir un carré $(x-\alpha)^2$ puis ajuster par une constante.

📖 2. Discriminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant $\Delta$ : Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ mesure, pour l’équation $ax^2+bx+c=0$, le nombre de solutions réelles.
• Équation du second degré : Une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, dont les solutions sont les racines du trinôme associé.
• **Ensemble des solutions $S** : L’ensemble$S$regroupe toutes les valeurs de$x$qui rendent$ax^2+bx+c$égal à$0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle et $S=\varnothing$.
• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ a une unique solution réelle $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ et $S=\{ -\dfrac{b}{2a}\}$.
• Si $\Delta>0$, alors l’équation a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ avec $S=\{x_1;x_2\}$.
• Le lien systématique est $\Delta=b^2-4ac$ : c’est lui qui décide entre 0, 1 ou 2 racines réelles.

💡 Astuce mémo

Δ décide le nombre de solutions : négatif 0, nul 1 (double), positif 2.

📖 3. Racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : On dit que $x$ est une racine de $f$ si $f(x)=0$.
• Factorisation en produit : La factorisation exprime $f(x)$ comme $a(x-x_1)(x-x_2)$ quand les racines réelles sont disponibles.
• Racines et équation : Les solutions de $ax^2+bx+c=0$ sont exactement les racines de la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Trinôme factorisable : Un trinôme $g(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ est factorisable si et seulement si $\Delta\ge 0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, alors $ax^2+bx+c$ n’est pas factorisable dans $\mathbb{R}$ en produit de facteurs du type $(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta=0$, alors $g(x)=a(x-x_0)^2$ où $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, alors $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $x_1$ et $x_2$ issus de la formule à partir de $\Delta$.
• Une fonction du second degré a au plus 2 racines réelles.

💡 Astuce mémo

Racines ⇔ zéros : si $x=x_1$ alors $(x-x_1)$ divise $f(x)$.

📖 4. Signe du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe du trinôme : Le signe de $g(x)=ax^2+bx+c$ décrit si $g(x)$ est positif, nul ou négatif selon $x$.
• **Zéros $x_1,x_2** : Les racines réelles$x_1$et$x_2$sont les valeurs où le trinôme change de signe quand$\Delta>0$.
• Parabole et ouverture : Le signe global dépend de l’ouverture de la parabole : quand $a>0$, la parabole est tournée vers le haut, et quand $a<0 vers le bas.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, alors $g(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ (il ne coupe jamais l’axe des abscisses).
• Si $\Delta=0$, alors $g(x)$ est du signe de $a$ sauf en $x=-\dfrac{b}{2a}$ où $g(x)=0$.
• Si $\Delta>0$, alors $g(x)$ est du signe de $a$ sur $]-\infty;x_1[\cup ]x_2;+\infty[$ et du signe opposé sur $]x_1;x_2[$.
• Quand $\Delta=0$, on a $g(x)=a(x-x_0)^2$ donc le trinôme vaut 0 seulement au sommet $x_0$.

💡 Astuce mémo

Ouverture + racines : pas de racines (Δ<0) ⇒ signe constant ; racines (Δ>0) ⇒ alternance entre intervalles.

📖 5. Parabole et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe $y=ax^2+bx+c$ est une parabole en fonction du trinôme du second degré.
• Sommet : Le sommet est le point maximal ou minimal de la parabole, atteint pour $x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie de $y=ax^2+bx+c$ est la droite verticale $x=\alpha$.
• Ouverture vers le haut : Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut, donc elle a un minimum au sommet.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthogonal, la courbe de $f(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$.
• Le sommet a pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$ et la parabole admet un axe de symétrie d’équation $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas.
• Les valeurs de $x$ où $f(x)=0$ sont les racines, et les cas $\Delta<0,\Delta=0,\Delta>0$ déterminent si l’intersection avec l’axe des abscisses est vide, un point, ou deux points.

📖 6. Tableau de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Un tableau récapitule, pour une fonction du second degré, les intervalles sur lesquels elle est croissante ou décroissante et la valeur au sommet.
• Côté gauche / côté droit du sommet : La position $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ sépare les zones où la fonction se comporte différemment selon le signe de $a$.
• Minimum / maximum : Selon $a$, le sommet est un minimum (parabole vers le haut) ou un maximum (parabole vers le bas), ce qui fixe le sens des variations.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$ alors $f$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
• Pour $a<0$, alors $f$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ et décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
• Le tableau doit placer au sommet la valeur centrale $f(\alpha)=\beta$ et faire figurer les deux flèches qui changent de sens en $\alpha$.
• La variation se justifie par la monotonie de $(x-\alpha)^2$ : carré décroissant sur $]-\infty;0]$ et croissant sur $[0;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Sens des variations : $a>0$ ⇒ décroît puis croît ; $a<0$ ⇒ croît puis décroît, avec changement en $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant pour les solutions

Condition sur $\Delta$	Nombre de solutions réelles	Ensemble $S$
$\Delta<0$	0	$S=\varnothing$
$\Delta=0$	1	$S=\{ -\dfrac{b}{2a}\}$
$\Delta>0$	2	$S=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a};\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant avec le discriminant du trinôme et oublier $\Delta=b^2-4ac$ dans la formule.
2. Prendre $-b/2a$ au lieu de $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta>0.
3. Oublier que si $\Delta=0$ il y a une racine double : le signe ne change pas, même si $g(x)=0$ au sommet.
4. Dire que le trinôme est de signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ même quand $\Delta>0, alors qu’il change de signe entre$x_1$et$x_2$.
5. Inverser le sens des variations : pour $a>0$, c’est décroissant puis croissant, et pour $a<0$, c’est l’inverse, avec le changement en $\alpha$.
6. Oublier que l’axe de symétrie est $x=\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et placer le sommet sur une autre abscisse.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ pour $ax^2+bx+c=0$.
2. Donner $S$ dans les trois cas $\Delta<0$, $\Delta=0$ et $\Delta>0$.
3. Calculer les solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ quand $\Delta>0$.
4. Définir une racine de $f$ par la condition $f(x)=0$.
5. Relier les solutions de $ax^2+bx+c=0$ aux racines de $f(x)=ax^2+bx+c$.
6. Déterminer la factorisation selon $\Delta<0$, $\Delta=0$ ou $\Delta>0$ : non factorisable, carré, ou produit de deux facteurs.
7. Mettre le trinôme sous forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
8. Donner l’axe de symétrie $x=\alpha$ et les coordonnées du sommet $S(\alpha;\beta)$.
9. Établir le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ selon $\Delta<0$, $\,\Delta=0$ ou $\Delta>0$ en utilisant $x_1$ et $x_2$.
10. Construire le tableau de variations pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ : décroissant puis croissant si $a>0$, et l’inverse si $a<0$.
11. Placer correctement la valeur au sommet $f(\alpha)=\beta$ dans le tableau de variations.