Cuestionario: Introduction aux fonctions quadratiques et leurs applications — 12 preguntas

1. Dans l’étude d’un trinôme du second degré, quelle expression permet de connaître le nombre de solutions réelles de l’équation associée ?

A. Le discriminant Δ = b² - 4ac

B. La forme canonique a(x - α)² + β

C. La somme des racines x1 + x2

D. La pente de la tangente en un point

Answer: (A)

Explicación

Le discriminant Δ = b² - 4ac décide du nombre de solutions réelles : négatif, nul ou positif. La forme canonique sert surtout à repérer le sommet, pas directement le nombre de racines.

2. Pour un trinôme du second degré de coefficient directeur a positif, comment le signe de la fonction se répartit-il par rapport à ses racines réelles ?

A. Négatif partout sauf aux racines

B. Positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles

C. Positif partout sauf au sommet

D. Négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles

Answer: (B)

Explicación

Quand a > 0, la parabole est tournée vers le haut : la fonction est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles. C’est l’inverse lorsque a < 0.

3. Quelle règle donne la dérivée d’un produit de deux fonctions u et v ?

A. (uv)' = u'v'

B. (uv)' = u'v + uv'

C. (uv)' = u' + v'

D. (uv)' = u/v

Answer: (B)

Explicación

La dérivée d’un produit suit la règle (uv)' = u'v + uv'. La simple somme des dérivées ne convient que pour une somme, pas pour un produit.

4. Que représente la valeur f'(a) pour une fonction dérivable en a ?

A. La valeur moyenne de la fonction sur un intervalle

B. Le taux de variation entre 0 et a

C. L’ordonnée à l’origine de la fonction

D. La pente de la tangente au point d’abscisse a

Answer: (D)

Explicación

La dérivée en a, notée f'(a), est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Elle ne désigne pas une moyenne ni l’ordonnée à l’origine.

5. Quelle formule correspond au terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r ?

A. u_n = u_0 - nr

B. u_n = u_1q^{n-1}

C. u_n = u_0 + nr

D. u_n = u_0q^n

Answer: (C)

Explicación

Dans une suite arithmétique, on ajoute une constante r à chaque pas, d’où u_n = u_0 + nr. Les formules avec q concernent les suites géométriques.

6. Quelle formule donne la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q ?

A. S = n(premier + dernier)/2

B. S = u_0(1 - q^n)/(1 - q)

C. S = u_0q^n

D. S = u_0 + nq

Answer: (B)

Explicación

La somme d’une suite géométrique s’écrit S = u_0(1 - q^n)/(1 - q). La formule n(premier + dernier)/2 est celle d’une suite arithmétique.

7. Quelle identité trigonométrique fondamentale relie le sinus et le cosinus d’un même angle ?

A. cos(a + b) = cos(a) + cos(b)

B. tan(x) = sin(x) + cos(x)

C. sin(x) = 1/cos(x)

D. cos²(x) + sin²(x) = 1

Answer: (D)

Explicación

L’identité fondamentale du cercle trigonométrique est cos²(x) + sin²(x) = 1. Elle est à distinguer de la formule de la tangente, tan(x) = sin(x)/cos(x).

8. Quel est le vecteur f2f AB si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) ?

A. (x_A - x_B ; y_A - y_B)

B. (x_A + x_B ; y_A + y_B)

C. (x_B / x_A ; y_B / y_A)

D. (x_B - x_A ; y_B - y_A)

Answer: (D)

Explicación

Le vecteur f2f AB se calcule en soustrayant les coordonnées de A à celles de B : (x_B - x_A ; y_B - y_A). Les autres propositions ne donnent pas un vecteur déplacement correct.

9. Quelle formule calcule la probabilité conditionnelle de A sachant B ?

A. P(A|B) = P(A) × P(B)

B. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

C. P(A|B) = 1 - P(A)

D. P(A|B) = P(A) + P(B)

Answer: (B)

Explicación

La probabilité conditionnelle se définit par P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), à condition que P(B) soit non nulle. Le produit P(A) × P(B) concerne l’indépendance.

10. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire X ?

A. V(X) = √E(X)

B. V(X) = E(X²) - [E(X)]²

C. V(X) = E(X) - E(X²)

D. V(X) = E(X) / P(X)

Answer: (B)

Explicación

La variance est définie par V(X) = E(X²) - [E(X)]², puis l’écart-type est sa racine carrée. Cette formule mesure la dispersion autour de la moyenne.

11. Dans quel cas la droite d’équation y = L est-elle une asymptote horizontale de la courbe de f ?

A. Lorsque f(x) est définie seulement pour x proche de 0

B. Lorsque la dérivée de f(x) est constante et égale à L

C. Lorsque la limite de f(x) vaut L quand x tend vers +∞ ou vers −∞

D. Lorsque f(x) admet une racine réelle égale à L

Answer: (C)

Explicación

Une asymptote horizontale y = L existe lorsque la fonction se rapproche de la valeur L à l’infini, c’est-à-dire quand la limite de f(x) vaut L pour x vers +∞ ou −∞. Les autres propositions décrivent d’autres propriétés sans lien direct avec l’asymptote horizontale.

12. Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = e^{u(x)} ?

A. f'(x) = e^{u(x)-1}

B. f'(x) = u(x)e^{u(x)}

C. f'(x) = e^{u'(x)}

D. f'(x) = u'(x)e^{u(x)}

Answer: (D)

Explicación

La dérivée d’une exponentielle composée conserve la forme exponentielle et se multiplie par la dérivée de l’exposant : f'(x)=u'(x)e^{u(x)}. La formule f'(x)=e^{u'(x)} est une confusion fréquente, mais elle est incorrecte.