Hoja de repaso: Introduction aux polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynômes du second degré
2. Factorisation et discriminant
3. Racines, signes et inéquations
4. Dérivation et tangentes
5. Cercle trigonométrique et radians
6. Cosinus, sinus et valeurs remarquables
7. Fonctions dérivées et variations
8. Probabilités conditionnelles et arbres
9. Indépendance et vecteurs
10. Suites numériques
11. Suites arithmétiques et exponentielle
12. Variables aléatoires

📖 1. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré est une fonction définie sur R qui s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et a≠0.
• Racine d’un polynôme : Une racine d’un polynôme f est un réel λ tel que f(λ)=0, donc c’est une solution de l’équation f(x)=0.
• Forme factorisée : Une forme factorisée d’un polynôme du second degré s’écrit f(x)=a(x−x1)(x−x2) avec a≠0 et x1,x2 réels.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme f(x)=ax²+bx+c avec a≠0 est f(x)=a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=(−b²−4ac)/(4a).
• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme ax²+bx+c est le nombre Δ=b²−4ac.

📝 Points essentiels

• Si f(x)=a(x−x1)(x−x2) avec a≠0, alors f(x)=0 équivaut à x=x1 ou x=x2 et les racines sont exactement x1 et x2.
• Tout trinôme ax²+bx+c (a≠0) peut s’écrire sous la forme a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=(−b²−4ac)/(4a).
• Si Δ>0, l’équation ax²+bx+c=0 admet deux racines réelles distinctes x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a).
• Si Δ=0, l’équation ax²+bx+c=0 admet une racine réelle double x0=−b/(2a) et f(x)=a(x−x0)².
• Si Δ<0, ax²+bx+c ne s’annule pas sur R et on ne peut pas l’écrire sous la forme a(x−A)(x−B) avec A,B réels.

📖 2. Factorisation et discriminant

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, le polynôme a deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta=0$, le polynôme a une unique racine réelle double $x_0=\frac{-b}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta<0$, le polynôme n’a pas de racines réelles et ne peut pas s’écrire sous la forme $a(x-A)(x-B)$ avec $A,B\in\mathbb{R}$.
• Résoudre $ax^2+bx+c=0$ revient à trouver les racines du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ après factorisation liée aux valeurs de $\Delta$.
• Pour $x^2+bx+c$ avec racines $x_1$ et $x_2$, on factorise en utilisant $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ dès que $\Delta\ge 0$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ indique le nombre de racines réelles : positif → 2, nul → 1 double, négatif → 0.

📖 3. Racines, signes et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines d’un trinôme : Les racines sont les valeurs de $x$ qui annulent le trinôme et servent de bornes pour construire le tableau de signes.
• Signe d’un trinôme : Le signe du trinôme dépend du signe du coefficient $a$ et de la position de $x$ par rapport aux racines déterminées par le discriminant.
• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré se résout en étudiant le signe du trinôme correspondant sur des intervalles découpés par ses racines.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, le trinôme admet deux racines $x_1$ et $x_2$ et il a le même signe que $a$ à l’extérieur et le signe opposé à l’intérieur.
• Si $\Delta=0$, le trinôme admet une racine unique $x_0$ et son signe vaut celui de $a$ sur $\mathbb{R}\setminus\{x_0\}$.
• Si $\Delta<0$, le trinôme ne s’annule pas et reste de signe constant égal à celui de $a$ sur $\mathbb{R}$.
• Pour résoudre une inéquation, on calcule $\Delta$ pour placer les racines puis on déduit le signe du trinôme et les intervalles vérifiant l’inégalité.
• Pour $-3x^2-5x+2<0$, on a $\Delta=49$ et les racines $x_1=-2$ et $x_2=\frac13$, donc la solution est $S=]-\infty;-2[\cup ]\frac13;+\infty[$.
• Pour $x^2+2{,}4\le 4x-x^2$, on obtient $2x^2-4x+2{,}4\le 0$ avec $\Delta=16-19{,}2=-3{,}2<0$ et $a>0$, donc la solution est $S=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Δ règle le nombre de racines : +0 deux racines, =0 une racine, <0 aucune, puis on applique : dehors = signe de $a$, dedans = signe de $-a$.

📖 4. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé est la limite du taux de variation quand $h\to0$, si elle existe, et il se note $f'(a)$.
• Dérivabilité en un point : Une fonction est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation entre $a$ et $a+h$ admet une limite quand $h\to0$.
• Tangente à une courbe : La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est la droite passant par $\bigl(a,f(a)\bigr)$ et de pente $f'(a)$.
• Tangente horizontale : Une tangente horizontale est une tangente dont la pente vaut $0$, ce qui donne une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$, et cette limite doit exister comme un nombre réel.
• La tangente en $a$ a pour équation réduite $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ et passe toujours par le point $\bigl(a,f(a)\bigr)$.
• Pour $f(x)=x^2-3$, on obtient $f'(1)=2$ donc la tangente en $x=1$ a pour équation $y=2(x-1)+(-2)$.
• La fonction valeur absolue $f(x)=|x|$ n’est pas dérivable en $0$ car le taux de variation vaut $1$ si $h>0$ et $-1$ si $h<0$.
• Pour $f(x)=\dfrac{2}{x}$ au point d’abscisse $3$, on a $f'(3)=-\dfrac{2}{9}$ et la tangente vaut $y=-\dfrac{2}{9}(x-3)+\dfrac{2}{3}$.
• Si $f'(a)=0$, la tangente en $a$ est horizontale et donc parallèle à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Pente de la tangente = nombre dérivé : $\;\text{pente}=f'(a)$ et $\;y=f'(a)(x-a)+f(a)\;$.

📖 5. Cercle trigonométrique et radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Périodicité des fonctions cos et sin : Les valeurs de cos et sin se répètent toutes les $2\pi$ radians, avec $\cos(x+2k\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2k\pi)=\sin(x)$ pour tout entier relatif $k$.
• Identité cosinus sinus : Pour tout réel $x$, cos et sin vérifient l’identité fondamentale $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.
• Symétrie par rapport à l’axe des abscisses : La symétrie d’un angle $x$ en $-x$ conserve le cosinus et change le signe du sinus : $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.
• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : La symétrie de $x$ en $\pi-x$ change le signe du cosinus et conserve celui du sinus : $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi-x)=\sin(x)$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $-1\le \cos(x)\le 1$ et $-1\le \sin(x)\le 1$.
• Pour $x\in\big[0;\frac{\pi}{2}\big]$, on a $\cos(x)\ge 0$ et $\sin(x)\ge 0$, et pour $x\in\big[-\pi; -\frac{\pi}{2}\big]$ on a $\cos(x)\le 0$ et $\sin(x)\le 0$.
• Pour $x\in\big[\frac{\pi}{2};\pi\big]$, on a $\cos(x)\le 0$ et $\sin(x)\ge 0$, et pour $x\in\big[-\frac{\pi}{2};0\big]$ on a $\cos(x)\ge 0$ et $\sin(x)\le 0$.
• Si $x\in\big[-\frac{\pi}{2};0\big]$ et $\cos(x)=\frac{1}{3}$, alors $\sin(x)=-\frac{2\sqrt2}{3}$.
• Pour tout réel $x$, on a $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.

📖 6. Cosinus, sinus et valeurs remarquables

📖 7. Fonctions dérivées et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite définie sur N est croissante si, pour tout n, son terme suivant est supérieur ou égal au terme précédent.
• Suite décroissante : Une suite définie sur N est décroissante si, pour tout n, son terme suivant est inférieur ou égal au terme précédent.
• Suite constante : Une suite définie sur N est constante si, pour tout n, le terme suivant est égal au terme précédent.
• Monotone : Une suite est dite monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.

📝 Points essentiels

• Une suite est strictement croissante ou strictement décroissante quand les comparaisons avec un+1 un sont strictes à chaque n concerné.
• Si l’inégalité un+1 un n’est vraie qu’à partir d’un rang p, on dit que la suite est croissante (ou décroissante) à partir du rang p.
• Pour étudier le sens de variation d’une suite (un), on calcule un+1−un puis on regarde le signe obtenu pour tout n.
• Exemple utile : la suite (un)=(−1)^n n’est ni croissante ni décroissante car elle alterne 1 et −1 selon la parité de n.
• Si une suite a pour expression explicite un=f(n) avec f croissante sur R+, alors la suite (un) est croissante.
• Si une suite a pour expression explicite un=f(n) avec f décroissante sur R+, alors la suite (un) est décroissante.

📖 8. Probabilités conditionnelles et arbres

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuves indépendantes : Deux épreuves sont indépendantes quand le résultat de la première n’influence pas les résultats de la seconde.
• Remise de la carte : Remettre la carte dans le paquet après le premier tirage garantit que le contenu reste identique avant le second tirage.
• Probabilité d’un couple : Pour deux épreuves indépendantes, la probabilité d’obtenir simultanément deux résultats est égale au produit de leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• Sans remise, le paquet dépend du premier tirage, donc deux tirages successifs ne sont pas indépendants.
• Avec remise, les deux tirages ont la même probabilité à chaque étape, donc ils sont indépendants.
• Si deux épreuves sont indépendantes, alors P(résultat 1 et résultat 2)=P(résultat 1)×P(résultat 2).
• Pour deux lancers indépendants d’un dé cubique non truqué, P(6 puis 6)=1/6×1/6=1/36.

💡 Astuce mémo

Indépendant = pas d’influence : remise OK ⇒ produit des probabilités; pas de remise ⇒ paquet change ⇒ pas de produit.

📖 9. Indépendance et vecteurs

📖 10. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Une suite numérique converge vers un réel L lorsque ses termes se rapprochent de L quand n devient grand.
• Limite vers +∞ : Une suite a pour limite +∞ lorsque, à partir d’un certain rang, ses termes dépassent n’importe quel nombre réel choisi.
• Limite vers −∞ : Une suite a pour limite −∞ lorsque, à partir d’un certain rang, ses termes passent en dessous de n’importe quel nombre réel choisi.
• Suite divergente : Une suite diverge quand elle n’a pas de limite finie, par exemple elle peut tendre vers +∞ ou vers −∞.

📝 Points essentiels

• Si la suite (u_n) converge vers L, on note lim_{n→+∞} u_n = L.
• Pour dire lim_{n→+∞} u_n = +∞, on exige que u_n devienne plus grand que tout réel donné dès un rang suffisamment grand.
• Pour dire lim_{n→+∞} u_n = −∞, on exige que u_n devienne plus petit que tout réel donné dès un rang suffisamment grand.
• Quand les termes se rapprochent d’une valeur (par exemple 4), la suite converge vers cette valeur.
• Quand les termes deviennent arbitrairement grands (ou arbitrairement petits), la suite diverge vers +∞ (ou vers −∞).

💡 Astuce mémo

Plus infinie : u_n finit par dépasser tout ; moins infinie : u_n finit par descendre sous tout.

📖 11. Suites arithmétiques et exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique a une différence entre deux termes successifs constante égale à la raison r.
• Raison r : La raison r est la constante qui relie deux termes consécutifs d’une suite arithmétique par un+1=un+r.
• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle exp est la fonction vérifiant exp’(x)=exp(x) et exp(0)=1.
• Fonction x → e^{kx} : La fonction f(x)=e^{kx} est une exponentielle de paramètre k dont la dérivée vaut f’(x)=k e^{kx}.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, on a pour tout n∈N : un=u0+nr.
• Pour une suite arithmétique, pour tous entiers n et p : un=up+(n−p)r.
• Une suite arithmétique est strictement croissante si r>0, strictement décroissante si r<0, et constante si r=0.
• Pour tous réels a et b : exp(a+b)=exp(a)×exp(b).
• Pour tout entier n et tout réel a : exp(na)=(exp(a))^n, et exp(x)=e^x où e=exp(1)≈2,718.
• Pour f(x)=e^{kx}, on a pour tout x∈R : f’(x)=k e^{kx}, donc e^{kx} est croissante si k>0 et décroissante si k<0.

💡 Astuce mémo

Arithmétique: “+r” à chaque pas ; exponentielle: “addition → multiplication” via exp(a+b)=exp(a)exp(b).

📖 12. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une fonction qui, à chaque issue d’un univers fini Ω, associe un nombre réel.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable X donne, pour chaque valeur xi prise par X, la probabilité P(X=xi).
• Espérance mathématique : L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs prises par X par leurs probabilités.
• Variance et écart-type : La variance V(X) mesure la dispersion autour de E(X) et l’écart-type σ(X) est la racine carrée de V(X).
• Transformation affine : Si Y=aX+b, alors Y est une variable aléatoire définie par les valeurs yi=a xi+b correspondant à celles de X.

📝 Points essentiels

• Pour une variable X prenant des valeurs x1,…,xn, on a toujours P(X=x1)+…+P(X=xn)=1.
• Dans l’exemple du tirage, le gain X prend les valeurs −5, −2 et 10 et sa loi vérifie P(X=−5)=0,6, P(X=−2)=0,1, P(X=10)=0,3.
• L’espérance E(X) vaut x1p1+…+xnpn et la variance V(X) vaut p1(x1−E(X))^2+…+pn(xn−E(X))^2.
• Si Y=aX+b, alors E(Y)=aE(X)+b et V(Y)=a^2V(X), donc σ(Y)=|a|σ(X).
• Dans l’exemple, E(X)=−0,2, V(X)=45,36 et σ(X)≈6,7.
• Si E(X)>0 le jeu est favorable au joueur, et si E(X)<0 il est défavorable au joueur.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant Δ=b²−4ac avec la valeur du trinôme : Δ sert à savoir le nombre de racines, pas à donner directement f(x).
2. Croire qu’en cas Δ<0 on peut factoriser a(x−A)(x−B) avec A,B réels : le cours dit que c’est impossible sur R.
3. Se tromper sur la formule des racines quand Δ>0 : x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a), l’ordre et les signes comptent.
4. Inéquation : oublier que si l’inéquation est ≤ ou ≥, les racines font partie de la solution (signe “inclus”).
5. Signe des trinômes : confondre “extérieur des racines = signe de a” et “intérieur = signe opposé” (ou faire l’inverse).
6. Dérivabilité : croire que |x| est dérivable en 0 : le cours montre que le taux de variation vaut 1 si h>0 et −1 si h<0 donc pas de limite.
7. Tangente : écrire y=f'(a)(x−a)+f(a) mais oublier que la tangente passe par le point (a,f(a)).

✅ Checklist Examen

1. Polynômes du second degré : donner la forme développée ax²+bx+c (a≠0), la racine λ et relier les racines à la forme factorisée a(x−x1)(x−x2).
2. Forme canonique : réécrire f(x)=ax²+bx+c sous la forme a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=(−b²−4ac)/(4a).
3. Discriminant : calculer Δ=b²−4ac et conclure : Δ>0 (2 racines réelles distinctes), Δ=0 (racine double), Δ<0 (pas de racines réelles et pas de factorisation réelle).
4. Résoudre ax²+bx+c=0 : trouver les racines via Δ et donner l’ensemble solution sous forme des deux valeurs (ou une valeur double).
5. Signe / inéquations : construire le tableau de signes à partir de Δ et du signe de a, puis déterminer la solution de l’inéquation sur les intervalles.
6. Variations de f (parabole) : à partir de la forme canonique, donner le sommet (α,β), l’axe x=α et le sens de variation selon le signe de a, puis en déduire les extrémums locaux (en utilisant f’ et le changement de signe).
7. Dérivation : maîtriser le taux de variation τ_a(h) et le nombre dérivé f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h, et savoir que |x| n’est pas dérivable en 0.
8. Tangente : écrire l’équation réduite y=f'(a)(x−a)+f(a), conclure “horizontale” si f'(a)=0, et retrouver f'(3) dans les exemples du cours.
9. Trigonométrie/radians : convertir degrés↔radians (0→0, 180→π, 90→π/2, 360→2π), utiliser périodicité (x+2kπ) et symétries (cos/sin).
10. Valeurs remarquables + calcul : utiliser (cos x)²+(sin x)²=1 et la symétrie pour trouver sin quand cos est donné (ex : cos x=1/3 avec x dans [−π/2,0]).
11. Fonctions exponentielles : utiliser exp(a+b)=exp(a)exp(b) et la dérivée (eax+b)’=a·e^(ax+b), puis résoudre e^{…}=e^{…} via stricte croissance.
12. Probabilités : calculer P(X=xi) et vérifier la somme =1, utiliser E(X)=∑xi pi, et pour conditionnelles appliquer P_A(B)=P(A∩B)/P(A) puis arbres/indépendance si c’est le cas (produit).