Cuestionario: Introduction aux probabilités et fonctions mathématiques — 16 preguntas

1. Comment appelle-t-on l’ensemble des individus étudiés dans une étude statistique ?

A. La modalité

B. La fréquence

C. Le complémentaire

D. La population

Answer: (D)

Explicación

La population est l’ensemble des individus étudiés, caractérisé par son effectif total. La fréquence est une proportion, pas l’ensemble lui-même.

2. Quelle expression donne la fréquence d’un caractère dans une population de taille totale E ?

A. card(A ∪ E) / card(E)

B. card(A) / card(E)

C. card(A) − card(E)

D. card(E) / card(A)

Answer: (B)

Explicación

La fréquence est définie comme l’effectif de l’ensemble étudié divisé par l’effectif total, soit card(A)/card(E). Les autres expressions ne correspondent pas à cette définition.

3. Que représente une case d’un tableau croisé d’effectifs ?

A. La fréquence cumulée d’un seul caractère

B. L’effectif correspondant à une combinaison de deux modalités

C. La moyenne des deux caractères

D. Le total d’une ligne ou d’une colonne

Answer: (B)

Explicación

Chaque case donne l’effectif ou la fréquence des individus correspondant à une combinaison de modalités des deux caractères. Les marges, elles, donnent les totaux.

4. Quel graphique permet de représenter la répartition proportionnelle d’un caractère qualitatif par des secteurs ?

A. Le diagramme circulaire

B. Le nuage de points

C. Le tableau croisé

D. Le diagramme en barres empilées

Answer: (A)

Explicación

Le diagramme circulaire visualise une répartition proportionnelle par des secteurs. Le nuage de points sert plutôt à étudier deux variables numériques.

5. Quelle formule donne la probabilité de B sachant A, lorsque la probabilité de A est non nulle ?

A. p(B|A)=p(A)/p(A∩B)

B. p(B|A)=p(A∩B)/p(A)

C. p(B|A)=p(A∩B)×p(A)

D. p(B|A)=p(A∪B)/p(A)

Answer: (B)

Explicación

La probabilité conditionnelle de B sachant A vaut p(A∩B)/p(A), à condition que p(A) soit non nulle. C’est la règle centrale des probabilités conditionnelles.

6. Si A est réalisé, comment exprime-t-on la probabilité du complémentaire de B sachant A ?

A. p(B|A) + p(A)

B. 1 - p(B|A)

C. p(A∩B) - p(A)

D. p(A|B)

Answer: (B)

Explicación

Lorsque A est réalisé, les événements B et son complémentaire forment deux cas complémentaires, donc p(Ḃ|A)=1-p(B|A). Les autres expressions ne traduisent pas la complémentarité conditionnelle.

7. Dans un arbre de probabilités, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

A. On multiplie les probabilités des branches

B. On prend la plus grande probabilité des branches

C. On additionne les probabilités des branches

D. On divise la dernière probabilité par la première

Answer: (A)

Explicación

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches. L’addition sert ensuite à obtenir la probabilité d’un événement à partir de plusieurs chemins.

8. Que vaut la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud dans un arbre de probabilités ?

A. Le nombre de branches du nœud

B. 1

C. 0

D. La probabilité du chemin précédent

Answer: (B)

Explicación

Les branches issues d’un même nœud forment une répartition complète, donc leur somme vaut 1. C’est une règle fondamentale de construction des arbres.

9. Quelle propriété caractérise une suite arithmétique de raison r ?

A. Chaque terme est obtenu en divisant le précédent par r

B. Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par r

C. Chaque terme est obtenu en élevant le précédent au carré

D. Chaque terme est obtenu en ajoutant r au terme précédent

Answer: (D)

Explicación

Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant une même valeur constante r. C’est ce qui distingue cette suite d’une suite géométrique.

10. Dans une suite arithmétique de raison r, quelle relation lie deux termes consécutifs ?

A. u_{n+1}=u_n\times r

B. u_{n+1}=u_n+r

C. u_{n+1}=q\,u_n

D. u_{n+1}=u_n-r

Answer: (B)

Explicación

Une suite arithmétique s’obtient en ajoutant à chaque terme une même valeur constante r, d’où la relation u_{n+1}=u_n+r. La multiplication par une constante correspond au contraire à une suite géométrique.

11. Quelle expression permet de calculer le terme général d’une suite géométrique de premier terme u₀ et de raison q ?

A. u_n = u_0\times n^q

B. u_n = q + n\times u_0

C. u_n = u_0 + n\times q

D. u_n = u_0\times q^n

Answer: (D)

Explicación

Pour une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la raison q, d’où la formule u_n = u_0\times q^n. Les autres propositions correspondent à une suite arithmétique ou à une expression sans lien avec la définition.

12. Comment varie une fonction exponentielle f(x)=a^x lorsque 0<a<1 ?

A. Elle est strictement croissante

B. Elle n’est définie que pour les entiers

C. Elle est strictement décroissante

D. Elle est constante

Answer: (C)

Explicación

Une fonction exponentielle de base comprise entre 0 et 1 décroît quand x augmente. Elle n’est donc pas croissante, et elle est définie pour tout réel x si a>0.

13. Que représente le taux de variation de f entre deux abscisses a et b ?

A. L’ordonnée à l’origine de la courbe

B. La pente moyenne de la fonction sur l’intervalle

C. La valeur exacte de la dérivée en a

D. Le nombre de zéros de la fonction

Answer: (B)

Explicación

Le taux de variation entre a et b vaut \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) et mesure la pente moyenne de la courbe sur l’intervalle. La dérivée correspond plutôt à une pente instantanée.

14. Quelle relation donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a lorsque la limite existe ?

A. \(f(a+h)-f(a)\)

B. \(\frac{f(a)}{a}\)

C. \(\frac{a-b}{f(a)-f(b)}\)

D. \(\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

Answer: (D)

Explicación

Le taux de variation instantané en a est défini par la limite \(\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), qui donne le coefficient directeur de la tangente. Les autres expressions ne correspondent pas à cette définition.

15. Que mesure le nombre dérivé f'(a) ?

A. L’aire sous la courbe au point a

B. Le coefficient directeur de la tangente en a

C. La valeur moyenne de f sur tout l’intervalle

D. Le nombre d’intersections avec l’axe des ordonnées

Answer: (B)

Explicación

Le nombre dérivé en a est précisément le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Il ne s’agit pas d’une aire ni d’une valeur moyenne.

16. Dans quel cas une fonction est-elle croissante sur un intervalle ?

A. Lorsque la fonction coupe l’axe des ordonnées

B. Lorsque f'(x) est négatif sur l’intervalle

C. Lorsque f'(x) est positif ou nul sur l’intervalle

D. Lorsque f'(x) vaut 0 en un seul point

Answer: (C)

Explicación

Une fonction est croissante sur un intervalle si sa dérivée y est supérieure ou égale à 0 partout sur cet intervalle. Un signe négatif de f' indique au contraire une décroissance.