Hoja de repaso: Introduction aux vecteurs dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Repère et coordonnées d’un vecteur
2. Calculs vectoriels dans un repère
3. Coordonnées du vecteur entre deux points
4. Milieu d’un segment et symétrie
5. Norme d’un vecteur et distance
6. Vecteurs colinéaires et déterminant

📖 1. Repère et coordonnées d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère (O; I⃗ ; J⃗ ) : Un repère du plan est défini par un point O et deux vecteurs non colinéaires I⃗ et J⃗.
• Base (I⃗ , J⃗ ) : Une base de vecteurs est un couple de vecteurs non colinéaires qui permet d’exprimer tout vecteur du plan comme combinaison linéaire.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur dans une base sont les réels (x; y) tels que le vecteur s’écrive xI⃗ + yJ⃗.
• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point M sont les réels (x; y) tels que le vecteur OM⃗ s’écrive xI⃗ + yJ⃗.

📝 Points essentiels

• Dans un repère (O; I⃗ ; J⃗ ), tout vecteur du plan s’écrit de façon unique sous la forme xI⃗ + yJ⃗.
• Les vecteurs I⃗ et J⃗ doivent être non colinéaires pour former une base.
• Si un point M a pour coordonnées (x; y), alors le vecteur OM⃗ a exactement les mêmes coordonnées (x; y).
• On note un vecteur J⃗ (x; y) ou J⃗ (x,y) selon la convention du cours.
• Le couple (I⃗ , J⃗ ) sert de base pour donner les coordonnées d’un vecteur ou d’un point dans le même repère.

💡 Astuce mémo

Base non colinéaire = écriture unique : même (x; y) pour OM⃗ et pour le point M.

📖 2. Calculs vectoriels dans un repère

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication scalaire : La multiplication scalaire hJ⃗ consiste à multiplier chaque coordonnée de J⃗ par h dans le repère.
• Somme de vecteurs : La somme J⃗ + V⃗ consiste à additionner coordonnée par coordonnée dans le repère.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire hJ⃗ + pV⃗ s’obtient en appliquant les multiplications scalaires puis en additionnant les coordonnées.
• Vecteur AB⃗ : Le vecteur AB⃗ est le vecteur allant de A vers B, dont les coordonnées se calculent par différence des coordonnées des points.

📝 Points essentiels

• Si J⃗ (x; y), alors hJ⃗ a pour coordonnées (hx; hy).
• Le vecteur opposé -J⃗ a pour coordonnées (-x; -y).
• Si J⃗ (x; y) et V⃗ (x’; y’), alors J⃗ + V⃗ a pour coordonnées (x + x’; y + y’).
• Si on forme hJ⃗ + pV⃗, les coordonnées deviennent (hx + px’; hy + py’).
• Le vecteur AB⃗ a pour coordonnées (xB - xA; yB - yA).
• Dans l’exemple, pour J⃗ (4; -2) et V⃗ (-2; 3), on obtient J⃗ + V⃗ (2; 1) et -5J⃗ (-20; 10).

💡 Astuce mémo

Coordonnées = opérations terme à terme : h multiplie, + additionne, AB⃗ = (B - A).

📖 3. Coordonnées du vecteur entre deux points

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB⃗ : Le vecteur AB⃗ relie deux points A et B et possède des coordonnées obtenues par soustraction des coordonnées de B à celles de A.
• Coordonnées par différence : Les coordonnées d’un vecteur entre deux points se calculent en faisant (xB - xA) et (yB - yA).

📝 Points essentiels

• Pour A(xA; yA) et B(xB; yB), on a AB⃗ (xB - xA; yB - yA).
• Le calcul repose sur l’écriture AB⃗ = OB⃗ - OA⃗ dans le repère.
• Dans l’exemple, avec A(4; -1) et B(-1; 2), on trouve AB⃗ (-5; 3).
• Dans l’exemple, avec A(4; -1) et C(1; -3), on trouve AC⃗ (-3; -2).
• Pour w⃗ = 2AB⃗ - AC⃗, les coordonnées se calculent en combinant les coordonnées déjà trouvées : w⃗ (-7; 8).
• Le même principe sert ensuite à imposer une relation de vecteurs pour déterminer un point inconnu (par exemple via AB⃗ = DC⃗).

💡 Astuce mémo

AB⃗ = B moins A : on soustrait les coordonnées comme des nombres.

📖 4. Milieu d’un segment et symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Le milieu K d’un segment [AB] est le point dont les coordonnées sont la moyenne des coordonnées de A et de B.
• Symétrie par rapport à un point : Le point C symétrique de A par rapport à B est celui pour lequel B est le milieu de [AC].
• Coordonnées du milieu : Les coordonnées du milieu s’obtiennent en calculant séparément la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées.
• Équations de symétrie : La symétrie par rapport à B se traduit par xB = (xA + xC)/2 et yB = (yA + yC)/2.

📝 Points essentiels

• Si K est le milieu de [AB], alors xK = (xA + xB)/2 et yK = (yA + yB)/2.
• Dans l’exemple A(-4; 7) et B(4; -5), on obtient K(5; 1).
• Pour la symétrie de A par rapport à B, on impose que B soit le milieu de [AC].
• Les équations de symétrie donnent xB = (xA + xC)/2 et yB = (yA + yC)/2.
• Dans l’exemple, avec A(5; -3) et B(-2; 4), on trouve xC = -9.
• Dans l’exemple, on trouve aussi yC = 11, donc C(-9; 11).

💡 Astuce mémo

Milieu = moyenne ; symétrie = “milieu au milieu” : B est la moyenne de A et C.

📖 5. Norme d’un vecteur et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est sa longueur, égale à la distance entre ses extrémités.
• Distance entre deux points : La distance AB est la longueur du vecteur AB⃗, donc la norme de AB⃗.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les vecteurs i et j sont unitaires et orthogonaux, ce qui permet d’utiliser Pythagore en coordonnées.
• Formule de la norme : La norme d’un vecteur (x; y) dans un repère orthonormé vaut la racine de x² + y².

📝 Points essentiels

• Si u = AB⃗, alors ||u|| = AB.
• Dans un repère orthonormé, pour u(x; y), on a ||u|| = √(x² + y²).
• Dans un repère orthonormé, AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²).
• Le cours indique que ||i|| = ||j|| = 1, ce qui justifie l’usage direct de la formule en coordonnées.
• Dans l’exemple, pour u(-5; 9), on calcule ||u|| via √((-5)² + 9²) (même méthode que pour v).
• Dans l’exemple du triangle, on obtient EG = √65 et EF = √65, tandis que FG = √26, ce qui permet de conclure isocèle mais pas équilatéral.

💡 Astuce mémo

Norme = Pythagore : √(x² + y²) ; distance = norme du vecteur différence.

📖 6. Vecteurs colinéaires et déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’il existe un réel h tel que V⃗ = hJ⃗.
• Déterminant de deux vecteurs : Le déterminant det(J⃗ , V⃗ ) est le nombre réel det(J⃗ , V⃗ ) = xy’ - yx’ pour J⃗ (x; y) et V⃗ (x’; y’).
• Proportionnalité des coordonnées : La colinéarité se traduit par la proportionnalité des coordonnées des deux vecteurs dans le repère.
• Alignement via déterminant : Le déterminant nul sert à démontrer que des vecteurs associés sont colinéaires, ce qui permet ensuite de conclure à l’alignement de points ou à la parallélité de droites.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs J⃗ et V⃗ non nuls sont colinéaires s’il existe h tel que V⃗ = hJ⃗.
• Dans l’exemple, J⃗ (2; -3) et V⃗ (10; -15) sont colinéaires car V⃗ = 5J⃗.
• La colinéarité se traduit aussi par la proportionnalité des coordonnées.
• Le déterminant est défini par det(J⃗ , V⃗ ) = xy’ - yx’.
• Propriété : J⃗ et V⃗ sont colinéaires si et seulement si det(J⃗ , V⃗ ) = 0.
• Le cours illustre l’usage du déterminant pour l’alignement : pour AB⃗ et AC⃗, on obtient un déterminant nul, donc les points sont alignés.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul = colinéarité : det(J⃗ , V⃗ ) = xy’ - yx’.

📊 Tableaux de synthèse

Colinéarité : méthode par proportionnalité ou par déterminant

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les coordonnées d’un point M avec celles du vecteur OM⃗ : dans le repère, elles sont identiques, mais ce n’est pas une autre notion.
2. Oublier que la formule de norme et de distance donnée suppose un repère orthonormé.
3. Se tromper de signe dans AB⃗ (xB - xA; yB - yA), ce qui fausse ensuite toutes les opérations vectorielles.
4. Utiliser la colinéarité avec des vecteurs nuls : la propriété du cours parle de vecteurs non nuls.
5. Confondre milieu et symétrique : le milieu utilise des moyennes, la symétrie impose que le point de référence soit le milieu de [AC].

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un repère (O; I⃗ ; J⃗ ) et exprimer un vecteur J⃗ (x; y) sous la forme xI⃗ + yJ⃗.
2. Calculer des coordonnées après opérations : hJ⃗, -J⃗, J⃗ + V⃗, hJ⃗ + pV⃗.
3. Calculer les coordonnées du vecteur AB⃗ à partir de A(xA; yA) et B(xB; yB).
4. Déterminer un vecteur combiné du type w⃗ = 2AB⃗ - AC⃗ en appliquant les coordonnées terme à terme.
5. Calculer le milieu K d’un segment [AB] avec xK = (xA + xB)/2 et yK = (yA + yB)/2.
6. Résoudre une symétrie : trouver C tel que B soit le milieu de [AC] via les deux équations sur x et y.
7. Calculer une norme ||u|| = √(x² + y²) et une distance AB = √((xB - xA)² + (yB - yA)²) en repère orthonormé.
8. Utiliser le déterminant det(J⃗ , V⃗ ) = xy’ - yx’ pour conclure à la colinéarité (det = 0).
9. Appliquer la colinéarité/déterminant à des questions d’alignement ou de parallélisme de droites à partir de vecteurs issus de points.