Hoja de repaso: Maîtrise du produit scalaire en géométrie

📋 Plan du Cours

1. Norme et produit scalaire
2. Propriétés du produit scalaire
3. Produit scalaire et norme
4. Orthogonalité et projection
5. Produit scalaire en repère orthonormé
6. Calculs d’angles et médianes
7. Théorème d’Al Kashi

📖 1. Norme et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est sa longueur, égale à la distance entre ses extrémités.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel défini par une formule faisant intervenir les normes et le cosinus de l’angle entre eux.

📝 Points essentiels

• Si l’un des deux vecteurs est nul, alors leur produit scalaire vaut 0.
• Si aucun des deux vecteurs n’est nul, alors $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\vec u;\vec v)$.

💡 Astuce mémo

Norme = distance; produit scalaire = longueurs × cos.

📖 2. Propriétés du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Commutativité du produit scalaire : La valeur du produit scalaire ne change pas quand on échange l’ordre des deux vecteurs.
• Distributivité : Le produit scalaire d’un vecteur avec une somme se répartit en somme de produits scalaires.
• Bilinéarité : Le produit scalaire réagit de façon linéaire à la fois sur chaque vecteur quand on l’additionne ou le multiplie par un réel.
• Multiplication par un réel : Multiplier un des vecteurs par un réel revient à multiplier le produit scalaire correspondant par ce réel.
• Identités remarquables : Des formules relient les carrés de sommes et de différences à la norme et au produit scalaire des deux vecteurs.

📝 Points essentiels

• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, on a $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$.
• Pour tout réel $k$, on a $\vec u\cdot(k\vec v)=k(\vec u\cdot\vec v)$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a $(\vec u-\vec v)^2=\vec u^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u^2-\vec v^2$.

💡 Astuce mémo

Carré de (u±v) : même termes de normes, et produit scalaire doublé avec le bon signe.

📖 3. Produit scalaire et norme

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré d’un vecteur : Le carré d’un vecteur correspond à son produit scalaire avec lui-même et vaut le carré de sa norme.
• Identité de deux vecteurs : Une relation relie $\vec u\cdot\vec v$ aux carrés des normes et à la norme du vecteur $\vec u-\vec v$ ou $\vec u+\vec v$.

📝 Points essentiels

• Pour tout vecteur $\vec u$, on a $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a $\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)$.
• Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a aussi $\vec u\cdot\vec v=\dfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)$.
• Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac12\big(AB^2+AC^2-BC^2\big)$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire via longueurs : $AB\cdot AC$ = 1/2(AB²+AC²−BC²).

📖 4. Orthogonalité et projection

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un point sur une droite est le point d’intersection de la droite et de la perpendiculaire passant par le point.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec u\cdot\vec v=0$.
• Si $\vec u=\overrightarrow{OA}$ et $\vec v=\overrightarrow{OB}$ et si $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$, alors $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$.
• Si $\widehat{AOH}=\pi$ (sens contraire), alors $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$.
• Si $\widehat{AOH}=0$ (même sens), alors $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité : produit scalaire = 0; projection : le produit se lit avec $H$ et le signe selon le sens.

📖 5. Produit scalaire en repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère où les coordonnées permettent de calculer directement le produit scalaire via la formule en composantes.
• Produit scalaire en coordonnées : Dans un repère orthonormé, le produit scalaire s’obtient en faisant $xx'$ puis $yy'$ et en additionnant.

📝 Points essentiels

• Si $\vec u=(x;y)$ et $\vec v=(x';y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• Dans l’exemple, avec $A(0;0)$, $B(a;0)$ et $C(a;\,a)$, on obtient $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{a\cdot a^2+0\cdot a}{ }=\dfrac{a^2}{2}$ en utilisant les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

💡 Astuce mémo

En coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=$ somme des produits des abscisses puis des ordonnées.

📖 6. Calculs d’angles et médianes

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle entre vecteurs : Le cosinus de l’angle entre deux vecteurs peut être retrouvé en isolant $\cos(\vec u;\vec v)$ dans l’expression du produit scalaire.
• Théorème de la médiane : Dans un triangle, la médiane vers le milieu relie les distances aux sommets au moyen d’égalités mettant en jeu un facteur 2 et un terme de segment.

📝 Points essentiels

• Pour $A$, $B$ et $I$ milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MI}$ via les formules du théorème de la médiane, notamment $M A^2+M B^2=2MI^2+\dfrac{AB^2}{2}$.
• Avec $A$, $B$ et $I$ milieu de $[AB]$, on a aussi $M A^2-M B^2=2\,\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}$ (sous forme équivalente dans le cours).
• Dans l’exemple numérique de la médiane issue de $C$, on trouve $CK=\sqrt{21}$ puis $CK\approx 4{,}58$.
• Le cours calcule un angle en posant $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ d’une part avec normes et cosinus, puis d’autre part avec les coordonnées, ce qui permet d’isoler $\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$.
• Pour l’exemple, on obtient $\cos(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})\approx 1{,}84$ rad et donc $\approx 105^\circ$ pour l’angle (valeurs arrondies données dans le cours).

💡 Astuce mémo

Angle : tu fais le produit scalaire de deux façons, puis tu isoles le cosinus.

📖 7. Théorème d’Al Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème d’Al Kashi : Le théorème d’Al Kashi exprime le carré d’un côté d’un triangle en fonction des deux autres côtés et du cosinus de l’angle compris.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle $ABC$, avec les notations du cours, on a $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$.
• Dans l’exemple, $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{3}{4}$ puis $\widehat{BAC}\approx 41^\circ$ après calcul au degré près (valeur donnée dans le cours).

💡 Astuce mémo

Al Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ : le terme de cosinus retranche $2bc$ fois le cosinus.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la norme d’un vecteur avec le carré de la norme : le carré vaut $\|\vec u\|^2$ et se lit aussi via $\vec u\cdot\vec u$.
2. Appliquer la formule du produit scalaire avec cosinus quand un vecteur est nul : dans ce cas, le cours impose directement $\vec u\cdot\vec v=0$.
3. Oublier le signe lié au sens dans le cas de la projection : selon que $\widehat{AOH}=0$ ou $\pi$, le produit scalaire avec $OH$ change de signe.
4. Se tromper d’angle en lisant $\cos(\vec u;\vec v)$ : c’est bien l’angle entre les deux vecteurs considérés, pas un angle de triangle pris au hasard.
5. Utiliser une identité de type $(\vec u\pm\vec v)^2$ en ne mettant pas le facteur 2 devant le produit scalaire.
6. Chercher $AB^2+AC^2-BC^2$ avec de mauvaises lettres quand on utilise $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ : il faut associer correctement les trois longueurs au bon triangle.
7. Dans le repère orthonormé, oublier que le produit scalaire fait $xx'+yy'$ : échanger une abscisse avec une ordonnée fausse immédiatement le résultat.

✅ Checklist Examen

1. Savoir exprimer la norme $\|\vec u\|$ comme distance entre les extrémités du vecteur.
2. Savoir calculer $\vec u\cdot\vec v$ avec l’angle : cas où un vecteur est nul puis formule avec $\cos(\vec u;\vec v)$.
3. Savoir appliquer la commutativité, la distributivité et la bilinéarité avec un réel $k$ au produit scalaire.
4. Savoir utiliser les identités remarquables pour développer $(\vec u+\vec v)^2$, $(\vec u-\vec v)^2$ et $(\vec u+\vec v)(\vec u-\vec v)$.
5. Savoir calculer $\vec u\cdot\vec u$ et relier le produit scalaire à la norme via $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$.
6. Savoir calculer $\vec u\cdot\vec v$ via la formule à l’aide de $\|\vec u\|^2$, $\|\vec v\|^2$ et $\|\vec u-\vec v\|^2$.
7. Savoir calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ à partir de $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.
8. Savoir reconnaître l’orthogonalité de deux vecteurs avec $\vec u\cdot\vec v=0$.
9. Savoir utiliser une projection orthogonale pour remplacer un produit scalaire par $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$ avec le bon signe selon le sens.
10. Savoir calculer un produit scalaire en repère orthonormé à partir de coordonnées $xx'+yy'$.
11. Savoir calculer la mesure d’un angle entre deux vecteurs en isolant le cosinus à partir de deux expressions du produit scalaire.
12. Savoir appliquer les égalités du théorème de la médiane avec $I$ milieu de $[AB]$ pour calculer une longueur.
13. Savoir appliquer le théorème d’Al Kashi $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{A}$ pour calculer un angle au degré près.