Quiz: Maîtrise du produit scalaire en géométrie — 14 perguntas

1. Comment définit-on la norme d’un vecteur ?

A. La somme de ses coordonnées

B. L’angle qu’il forme avec l’axe des abscisses

C. Sa longueur, égale à la distance entre ses extrémités

D. Le carré de ses coordonnées

Answer: (C)

Explicação

La norme d’un vecteur est sa longueur, donc la distance entre son origine et son extrémité. Les autres propositions confondent la norme avec des notions de coordonnées ou d’angle.

2. Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs si l’un d’eux est nul ?

A. Il dépend de l’angle entre eux

B. Il vaut la norme de l’autre vecteur

C. Il vaut 1

D. Il vaut 0

Answer: (D)

Explicação

Dès qu’un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. On n’utilise donc pas la formule avec le cosinus dans ce cas.

3. Quelle propriété du produit scalaire est illustrée par l’égalité \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\) ?

A. La distributivité

B. La commutativité

C. La bilinéarité

D. L’orthogonalité

Answer: (B)

Explicação

Cette égalité montre que l’ordre des vecteurs peut être inversé sans changer la valeur du produit scalaire. C’est la commutativité.

4. Quelle identité correspond au développement de \((\vec u+\vec v)^2\) ?

A. \(\vec u^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^2\)

B. \(\vec u^2+\vec v^2\)

C. \(\vec u^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^2\)

D. \(\vec u\cdot\vec v-\vec u^2-\vec v^2\)

Answer: (C)

Explicação

Le carré de la somme fait apparaître les deux carrés et un terme croisé doublé. Le signe du terme central est positif dans le cas de \((\vec u+\vec v)^2\).

5. À quoi est égal \(\vec u\cdot\vec u\) pour un vecteur \(\vec u\) ?

A. À 0

B. À \(2\|\vec u\|\)

C. À \(\|\vec u\|^2\)

D. À \(\|\vec u\|\)

Answer: (C)

Explicação

Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa norme. C’est une identité fondamentale du lien entre produit scalaire et norme.

6. Quelle formule donne \(\vec u\cdot\vec v\) à partir de \(\|\vec u\|\), \(\|\vec v\|\) et \(\|\vec u-\vec v\|\) ?

A. \(\dfrac12\big(\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2+\|\vec u-\vec v\|^2\big)\)

B. \(\dfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)\)

C. \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\|\vec u-\vec v\|\)

D. \(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|\)

Answer: (B)

Explicação

La relation donnée exprime le produit scalaire avec les carrés des normes et la norme de la différence. C’est l’une des identités clés du chapitre.

7. Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque leur norme est nulle

B. Lorsque leur angle vaut 0

C. Lorsque leurs coordonnées sont égales

D. Lorsque leur produit scalaire est nul

Answer: (D)

Explicação

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à 0. L’angle nul, au contraire, correspond à des vecteurs de même direction.

8. Si H est le projeté orthogonal de B sur la droite (OA) et que les points A, O, H sont dans le même sens, à quoi est égal \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\) ?

A. À \(-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}\)

B. À 0

C. À \(\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OH}\)

D. À \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}\)

Answer: (D)

Explicação

Quand \(\widehat{AOH}=0\), le produit scalaire avec \(OB\) se lit avec le projeté \(OH\) sans changement de signe. Le signe opposé apparaît seulement lorsque le sens est contraire.

9. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on le produit scalaire de \(\vec u=(x;y)\) et \(\vec v=(x';y')\) ?

A. \(x+x'+y+y'\)

B. \(xx'+yy'\)

C. \(xx'+yy'\) seulement si les vecteurs sont orthogonaux

D. \(xy'+yx'\)

Answer: (B)

Explicação

Dans un repère orthonormé, on multiplie les abscisses entre elles puis les ordonnées entre elles, avant d’additionner. C’est la formule directe du produit scalaire en coordonnées.

10. Quelle erreur est faite si l’on remplace la formule du produit scalaire en coordonnées par \(xy'+yx'\) ?

A. On obtient toujours le bon résultat

B. On calcule la norme au lieu du produit scalaire

C. On échange les abscisses et les ordonnées

D. On oublie que le produit scalaire dépend des normes

Answer: (C)

Explicação

La bonne formule est \(xx'+yy'\), et non \(xy'+yx'\). Intervertir abscisses et ordonnées conduit donc à un résultat faux.

11. Quelle méthode permet de déterminer le cosinus de l’angle entre deux vecteurs à partir du produit scalaire ?

A. Additionner les normes des deux vecteurs

B. Isoler le cosinus dans la formule du produit scalaire

C. Utiliser uniquement les coordonnées du milieu d’un segment

D. Remplacer le produit scalaire par la longueur d’un côté

Answer: (B)

Explicação

On part de la relation entre produit scalaire, normes et cosinus, puis on isole le cosinus pour obtenir la mesure de l’angle. Les autres propositions ne donnent pas directement l’angle entre deux vecteurs.

12. Dans un triangle, quelle relation est donnée pour la médiane issue d’un sommet vers le milieu du côté opposé ?

A. La médiane partage toujours le triangle en deux triangles rectangles

B. La somme des carrés des deux côtés vaut deux fois le carré de la médiane plus la moitié du carré du côté opposé

C. Le carré de la médiane vaut la somme des carrés des deux côtés diminuée du carré du côté opposé

D. Le produit des deux côtés adjacents vaut deux fois le carré de la médiane

Answer: (B)

Explicação

Le cours donne l’égalité de la médiane avec un facteur 2 et un terme en côté opposé: MA² + MB² = 2MI² + AB²/2. Les autres propositions ne correspondent pas à cette relation.

13. Quelle formule exprime le théorème d’Al Kashi dans un triangle ABC ?

A. a² = b² + c² + 2bc cos Â

B. a = b + c - 2bc cos Â

C. a² = b² - c² - 2bc cos Â

D. a² = b² + c² - 2bc cos Â

Answer: (D)

Explicação

Le théorème d’Al Kashi relie le carré d’un côté aux carrés des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris : a² = b² + c² - 2bc cos Â. Le signe « moins » devant le terme en cosinus est essentiel.

14. Dans l’exemple traité, quelle valeur est obtenue pour l’angle BAC après application du théorème d’Al Kashi ?

A. Environ 41°

B. Environ 90°

C. Environ 60°

D. Environ 105°

Answer: (A)

Explicação

Le calcul présenté conduit à cos(BAC) = 3/4, puis à une mesure d’environ 41° au degré près. Les autres valeurs ne correspondent pas à cet exemple.