Hoja de repaso: Maîtrise du trinôme du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme du second degré
2. Forme canonique du trinôme
3. Variations, extremum et parabole
4. Équations du second degré et discriminant
5. Racines et formules de Viète
6. Factorisation d’un trinôme
7. Signe, inéquations et position des courbes

📖 1. Définition du trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur ℝ de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Trinôme : Un trinôme désigne aussi une fonction polynôme du second degré sur ℝ, donc une expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction du premier degré, donc de la forme $ax+b$ avec $a\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme du second degré a forcément $a\neq 0$ et s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$.
• $k(x)=(x-4)(5-2x)$ est un exemple de trinôme car le produit donne une expression du type $ax^2+bx+c$.
• $m(x)=5x-3$ n’est pas du second degré : c’est une fonction affine.
• Une fonction polynôme de degré 4, comme $n(x)=5x^4-7x^3+3x-8$, n’est pas un trinôme du second degré.

💡 Astuce mémo

Trinôme = “quadratique” : présence de $ax^2$ avec $a\neq 0$.

📖 2. Forme canonique du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec des réels $\alpha$ et $\beta$.
• Paramètre $\alpha$ : Le paramètre $\alpha$ de la forme canonique vaut $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• Paramètre $\beta$ : Le paramètre $\beta$ de la forme canonique vaut $\beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.

📝 Points essentiels

• Pour tout trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$, on peut écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• On calcule $\beta$ avec la formule $\beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ à partir de $a,b,c$.
• Méthode par complétion du carré : regrouper $ax^2+bx$ puis ajouter et retrancher le même terme pour obtenir un carré.
• Exemple : $f(x)=2x^2-20x+10$ se met en $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

Complétion du carré : $ax^2+bx$ devient $a(x-\alpha)^2$ puis le reste forme $\beta$.

📖 3. Variations, extremum et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’un trinôme $f$ est une parabole.
• Sommet de la parabole : Le sommet de la parabole est le point de coordonnées $(\alpha,\beta)$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\alpha$.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est décroissante puis croissante ; si $a<0$, elle est croissante puis décroissante.
• Si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a>0$, $f$ admet un minimum pour $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Si $a<0$, $f$ admet un maximum pour $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Exemple : $f(x)=2(x-1)^2+3$ a un minimum en $x=1$ de valeur $3$.
• Exemple : pour $f(x)=2x^2-12x+1$, le sommet est $(3,-17)$ et l’axe est $x=3$ ; comme $a=2>0$, c’est un minimum.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $a>0$ → “creux” (minimum), $a<0$ → “bosse” (maximum).

📖 4. Équations du second degré et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.
• Racines : Les racines d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ sont les solutions réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Exemple : pour $2x^2-x-6=0$, $\Delta=49$ donc $x_1=-\dfrac{3}{2}$ et $x_2=2$.
• Exemple : pour $2x^2-3x+\dfrac{9}{8}=0$, $\Delta=0$ donc $x_0=\dfrac{3}{4}$ ; pour $x^2+3x+10=0$, $\Delta=-31<0$ donc aucune solution réelle.

💡 Astuce mémo

Discriminant : $\Delta$ <0 aucun réel ; $\Delta$=0 un seul ; $\Delta$>0 deux réels distincts.

📖 5. Racines et formules de Viète

🔑 Notions clés & Définitions

• Formules de Viète : Pour $ax^2+bx+c=0$, la somme des racines vaut $S=-\dfrac{b}{a}$ et le produit vaut $P=\dfrac{c}{a}$.
• Somme des racines : La somme $S$ des racines de $ax^2+bx+c=0$ vaut $S=-\dfrac{b}{a}$.
• Produit des racines : Le produit $P$ des racines de $ax^2+bx+c=0$ vaut $P=\dfrac{c}{a}$.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$, si $x_1$ est une racine alors $f(x_1)=0$ et la courbe coupe l’axe des abscisses en $x_1$.
• Si les racines sont $x_1$ et $x_2$, alors $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
• Exemple : pour $f(x)=-2x^2+x+1$, comme $f(1)=0$, on a $x_1=1$ puis $x_2=\dfrac{c}{a}\div x_1=-\dfrac{1}{2}$.
• Dans l’exemple précédent, la deuxième racine est $-\dfrac{1}{2}$ car $P=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

Viète = somme “−b sur a” et produit “c sur a”.

📖 6. Factorisation d’un trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation (cas $\Delta=0$) : Si $\Delta=0$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f(x)$ se factorise en $a(x-x_0)^2$ où $x_0$ est la racine.
• Factorisation (cas $\Delta>0$) : Si $\Delta>0$ pour $f(x)=ax^2+bx+c$, alors $f(x)$ se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1$ et $x_2$ racines.
• Absence de factorisation réelle (cas $\Delta<0$) : Quand $\Delta<0$ pour un trinôme, il n’existe pas de factorisation en facteurs réels linéaires.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ et $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, on ne peut pas écrire $f$ comme produit de deux facteurs du type $(x-\text{réel})$.
• Exemple : si $f$ s’annule en $-1$ et $2$ et vérifie $f(3)=-2$, alors $f(x)=-\dfrac{1}{2}(x+1)(x-2)$.
• Exemple : $4x^2+19x-5$ a $\Delta=441$ et se factorise en $4(x+5)(x-\dfrac{1}{4})$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ guide la factorisation : $0$ → carré, $>$0 → deux facteurs, $<$0 → pas de réels.

📖 7. Signe, inéquations et position des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Un tableau de signes indique le signe d’un trinôme sur les intervalles séparés par ses racines.
• Inéquation du second degré : Une inéquation du second degré est une inéquation portant sur un trinôme du type $ax^2+bx+c\;[<,\le,>,\ge]\;0$.
• Position relative de deux courbes : Pour deux courbes $C_f$ et $C_g$, on compare leur position via le signe de $f(x)-g(x)$.

📝 Points essentiels

• Pour étudier le signe de $ax^2+bx+c$, on utilise les racines obtenues par le discriminant puis on remplit le tableau sur $(-\infty,x_1)$, $(x_1,x_2)$, $(x_2,+\infty)$.
• Si on veut résoudre $ax^2+bx+c<0$ ou $\le 0$, on garde les intervalles où le trinôme est strictement négatif ou nul selon le symbole.
• Exemple : pour $x^2-2x-15<0$, on a $\Delta=64$ et les racines $-3$ et $5$, donc solution $]-3;5[$.
• Exemple : pour $x^2+3x-5<-x+2$, après regroupement on obtient $x^2+4x-7<0$ avec racines $-2-\sqrt{11}$ et $-2+\sqrt{11}$, donc $]-2-\sqrt{11};-2+\sqrt{11}[$.
• Exemple de position : pour $f(x)=-x^2+8x-11$ et $g(x)=x-1$, on compare $f-g=-x^2+7x-10$ avec racines $2$ et $5$, donc $f\le g$ sur $]-\infty;2]\cup[5;+\infty[$ et $f>g$ sur $[2;5]$.

💡 Astuce mémo

Courbes : signe de $f-g$ = qui est au-dessus : positif → $f>g$, négatif → $f<g$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “trinôme” et “fonction du second degré” : un trinôme nécessite $a\neq 0$, contrairement à une fonction affine.
2. Se tromper de formule pour $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.
3. Inverser le lien entre le signe de $a$ et l’extremum : $a>0$ donne un minimum, $a<0$ donne un maximum.
4. Écrire les solutions du second degré avec les signes inversés devant $\sqrt{\Delta}$ ou oublier la division par $2a$.
5. Oublier que lorsque $\Delta<0$, il n’y a pas de racines réelles et donc pas de factorisation en produit de deux facteurs réels linéaires.
6. Se tromper lors de la résolution d’inéquations par oubli des inclusions : le symbole strict ($<$) exclut les racines, le symbole large ($\le$) les inclut.
7. Pour comparer deux courbes, comparer directement $f$ et $g$ sans passer par $f(x)-g(x)$ peut conduire à des erreurs de sens (au-dessus/en-dessous).

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une expression correspond à une fonction polynôme du second degré et vérifier $a\neq 0$.
2. Mettre un trinôme $ax^2+bx+c$ sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$ en déterminant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$.
3. Déterminer l’extremum d’un trinôme via sa forme canonique : minimum ou maximum selon le signe de $a$, et valeur $\beta$ en $x=\alpha$.
4. Donner les caractéristiques d’une parabole : sommet $(\alpha;\beta)$ et axe $x=\alpha$.
5. Résoudre une équation $ax^2+bx+c=0$ en calculant le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et en concluant sur le nombre de solutions réelles.
6. Calculer les deux solutions pour $\Delta>0$ avec $x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}$ et la solution unique pour $\Delta=0$ avec $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
7. Utiliser Viète : retrouver la somme $S=-\dfrac{b}{a}$ et le produit $P=\dfrac{c}{a}$ des racines d’un trinôme.
8. Factoriser un trinôme connaissant le cas de $\Delta$ : carré si $\Delta=0$, produit $(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta>0$.
9. Résoudre une inéquation du second degré en déterminant les racines et en remplissant le tableau de signes avec le bon type d’inclusion selon le symbole.
10. Étudier la position relative de deux courbes $C_f$ et $C_g$ en utilisant le signe de $f(x)-g(x)$ et en interprétant “au-dessus / en-dessous” sur chaque intervalle.