Hoja de repaso: Notions fondamentales en divisibilité et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Multiple, diviseur et division euclidienne
2. Critères de divisibilité et somme de multiples
3. Nombres pairs et impairs et parité des carrés
4. Décomposition en facteurs premiers et nombres premiers
5. Fraction irréductible et simplification
6. PGCD, PPCM et arithmétique sur calculatrice

📖 1. Multiple, diviseur et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un multiple de $b$ est un entier de la forme $k\times b$ avec $k\in\mathbb Z$.
• Diviseur : Un diviseur de $a$ est un entier $b$ tel que $a$ s’écrive comme un multiple de $b$.
• Division euclidienne : La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b\in\mathbb N^*$) donne un quotient et un reste tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$.
• Reste : Le reste est l’entier $r$ obtenu dans la division euclidienne, qui vérifie $0\le r<b$.
• Quotient : Le quotient est l’entier $q$ obtenu dans la division euclidienne, tel que $a=b\times q+r$.

📝 Points essentiels

• Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ vaut 0, alors $a$ est divisible par $b$.
• Si le reste vaut 0, alors $b$ est un diviseur de $a$.
• Si le reste vaut 0, alors $a$ est un multiple de $b$.
• Exemple : $540\div 15=36$ donc $540$ est un multiple de $15$ et $15$ est un diviseur de $540$.
• Dans la division euclidienne, le reste $r$ est toujours strictement inférieur à $b$ (avec $b>0$).

💡 Astuce mémo

Reste 0 ⇒ Divise et Multiple : si $r=0$, alors $b\mid a$ et $a$ est un multiple de $b$.

📖 2. Critères de divisibilité et somme de multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Critère de divisibilité : Un critère de divisibilité est une propriété permettant de décider si un entier est divisible par un autre sans faire la division complète.
• Somme de multiples : La somme de deux entiers qui sont chacun des multiples de $b$ reste un multiple de $b$.
• **Multiple de $b** : Un entier est un multiple de$b$s’il s’écrit$k\times b$pour un certain entier$k$.
• Entier naturel : Un entier naturel est un entier de l’ensemble $\mathbb N$ utilisé ici pour préciser le domaine de $b$.

📝 Points essentiels

• Pour $b\in\mathbb N$, la somme de deux multiples de $b$ est encore un multiple de $b$.
• Si $x=k_1b$ et $y=k_2b$, alors $x+y=(k_1+k_2)b$ avec $k_1+k_2\in\mathbb Z$.
• Le résultat ne dépend pas des valeurs de $k_1$ et $k_2$, seulement du fait qu’ils soient entiers.
• Ce critère sert à prouver une divisibilité par $b$ via une écriture en somme.
• Le cours formule la propriété pour deux multiples, mais elle s’appuie sur la fermeture par addition des multiples.

💡 Astuce mémo

Multiples + multiples = multiple : on factorise par $b$ après avoir écrit $x=k_1b$ et $y=k_2b$.

📖 3. Nombres pairs et impairs et parité des carrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Un entier $n$ est pair s’il peut s’écrire $n=2k$ avec $k\in\mathbb Z$.
• Nombre impair : Un entier $n$ est impair s’il peut s’écrire $n=2k+1$ (ou équivalemment $n=2k-1$) avec $k\in\mathbb Z$.
• Parité : La parité décrit si un entier est pair ou impair.
• Carré d’un nombre : Le carré d’un entier $n$ est le produit $n^2=n\times n$.

📝 Points essentiels

• Si $n$ est pair, alors $n=2k$ et $n^2=(2k)^2=4k^2$ est divisible par 2, donc $n^2$ est pair.
• Si $n$ est impair, alors $n=2k+1$ et $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2K+1$, donc $n^2$ est impair.
• Le carré d’un nombre pair est pair.
• Le carré d’un nombre impair est impair.
• La forme $n=2k-1$ est équivalente à $n=2k+1$ pour caractériser un impair (avec $k\in\mathbb Z$).

💡 Astuce mémo

Pair → carré pair ; Impair → carré impair : la parité du carré ne change pas.

📖 4. Décomposition en facteurs premiers et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier qui n’est divisible que par 1 et par lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers d’un entier est son écriture comme produit de nombres premiers.
• Unicité de la décomposition : L’écriture d’un entier en produit de facteurs premiers est unique à l’ordre des facteurs près.
• Facteur premier : Un facteur premier est un nombre premier apparaissant dans la décomposition d’un entier.

📝 Points essentiels

• Un nombre premier n’a que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
• Tout entier non premier admet une décomposition en produit de facteurs premiers.
• La décomposition en facteurs premiers est unique (à l’ordre près).
• Exemple : $142=2\times 71$.
• Exemple : $288=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3$.
• La distinction à retenir : un nombre premier n’est pas la même notion que « nombres premiers entre eux ».

💡 Astuce mémo

Premier = seulement 1 et lui-même ; Décomposition = produit de premiers, unique à l’ordre près.

📖 5. Fraction irréductible et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction est un quotient de deux entiers, avec un numérateur et un dénominateur non nul.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur n’ont qu’un seul diviseur commun : 1.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers sont premiers entre eux quand leur unique diviseur commun est 1.
• Simplification de fraction : Simplifier une fraction consiste à diviser numérateur et dénominateur par un même diviseur commun pour obtenir une fraction plus simple.

📝 Points essentiels

• Une fraction est irréductible si numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.
• Ne pas confondre « nombre premier » et « nombres premiers entre eux » : ce sont deux notions différentes.
• Méthode : décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers puis simplifier les facteurs communs.
• Exemple : $\frac{126}{38}$ se simplifie en utilisant $126=2\times 3\times 3\times 7$ et $38=2\times 19$, ce qui donne $\frac{63}{19}$.
• Après simplification, on obtient une fraction irréductible (numérateur et dénominateur deviennent premiers entre eux).
• La simplification vise à supprimer tous les facteurs premiers communs aux deux nombres.

💡 Astuce mémo

Irreductible = pas de diviseur commun autre que 1 : après simplification, il ne reste plus de facteurs communs.

📖 6. PGCD, PPCM et arithmétique sur calculatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun.
• PPCM : Le PPCM de deux entiers naturels non nuls est leur plus petit multiple commun.
• Arithmétique sur calculatrice : L’arithmétique sur calculatrice regroupe les fonctions permettant de calculer PGCD, PPCM, et les résultats de la division euclidienne.
• Division euclidienne sur calculatrice : La calculatrice peut afficher le reste et le quotient de la division euclidienne de deux nombres.

📝 Points essentiels

• Le PGCD de $a$ et $b$ se note $\mathrm{PGCD}(a;b)$ et vérifie $\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;a)$.
• Le PPCM de $a$ et $b$ se note $\mathrm{PPCM}(a;b)$ et vérifie $\mathrm{PPCM}(a;b)=\mathrm{PPCM}(b;a)$.
• Le cours indique que Numworks permet de calculer le PGCD.
• Le cours indique que Numworks permet de calculer le PPCM.
• Le cours indique que Numworks permet d’obtenir le reste et le quotient de la division euclidienne.
• Le cours indique que Numworks permet aussi la décomposition en produit de facteurs premiers.

💡 Astuce mémo

PGCD = plus grand diviseur commun ; PPCM = plus petit multiple commun (et les deux sont symétriques : $a;b$ ou $b;a$).

📊 Tableaux de synthèse

Pair vs impair

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « nombre premier » (divisible seulement par 1 et lui-même) et « nombres premiers entre eux » (diviseur commun unique : 1).
2. Croire que le carré change la parité : un carré d’impair reste impair et un carré de pair reste pair.
3. Penser qu’une fraction est irréductible sans vérifier le diviseur commun entre numérateur et dénominateur.
4. Oublier que la divisibilité se lit via la division euclidienne : reste 0 ⇔ divisible.
5. Mélanger PGCD et PPCM : le PGCD est un diviseur, le PPCM est un multiple.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’un multiple et d’un diviseur dans $\mathbb Z$ et $\mathbb N^*$.
2. Savoir utiliser la division euclidienne : interpréter quotient et reste, et conclure divisibilité quand le reste vaut 0.
3. Savoir appliquer le critère : somme de deux multiples de $b$ est un multiple de $b$.
4. Savoir caractériser un entier pair et un entier impair à partir de sa forme $2k$ ou $2k\pm 1$.
5. Savoir conclure la parité du carré à partir de la parité du nombre de départ.
6. Savoir définir un nombre premier et reconnaître une décomposition en facteurs premiers.
7. Savoir expliquer pourquoi la décomposition en facteurs premiers est unique (à l’ordre près).
8. Savoir définir une fraction irréductible via la notion de nombres premiers entre eux.
9. Savoir simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en facteurs premiers puis en supprimant les facteurs communs.
10. Savoir définir et noter PGCD et PPCM, et utiliser leur symétrie $\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;a)$ et $\mathrm{PPCM}(a;b)=\mathrm{PPCM}(b;a)$.
11. Savoir quels calculs Numworks peut faire : PGCD, PPCM, décomposition en facteurs premiers, reste et quotient de la division euclidienne.