Notions fondamentales en exponentielles et géométrie vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Fonction exponentielle et unicité
2. Propriétés de signe et variation de f
3. Règles de calcul sur les exponentielles
4. Produit scalaire : définitions et expressions
5. Équations de droites : réduite et cartésienne
6. Application du produit scalaire aux droites et cercles

📖 1. Fonction exponentielle et unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction définie par la condition initiale $f(0)=1$ et l’équation différentielle $f'=f$.

📝 Points essentiels

• Si $g'=g$ et $g(0)=1$, alors $f$ et $g$ coïncident sur tout leur domaine.
• En posant $h=1/g$, on obtient $h'=0$, donc $h$ est constante.
• Comme $h(0)=f(0)/g(0)=1$, on a $h(x)=1$ puis $g(x)=f(x)$.

💡 Astuce mémo

$f'=f$ + $f(0)=1$ fixe l’exponentielle sans ambiguïté.

📖 2. Propriétés de signe et variation de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de f : Propriété qualitative indiquant si $f(x)$ est toujours positive, négative ou s’annule selon $x$.
• Variation de f : Comportement de $f$ quand $x$ augmente, décrit par la croissance ou la décroissance via le signe de $f'$.

📝 Points essentiels

• Si $f(-x)f(x)=1$, alors $f(x) eq 0$ pour tout $x$.
• Comme $f(0)=1>0$, on en déduit que $f(x)$ est positive pour tout $x$.
• Si $f(x)>0$ alors $f'(x)>0$, donc $f$ est croissante.

💡 Astuce mémo

Positif partout car $f(-x)f(x)=1$ empêche toute annulation.

📖 3. Règles de calcul sur les exponentielles