Hoja de repaso: Notions fondamentales en géométrie et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Multiples et divisibilité
2. Fractions irréductibles et proportion
3. Agrandissement et réduction
4. Théorème de Pythagore
5. Carrés parfaits et triplets pythagoriciens
6. Nombres irrationnels
7. Applications du théorème de Pythagore
8. Rénovation de l’obélisque

📖 1. Multiples et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple d’un nombre : Un multiple d’un nombre entier b est un entier de la forme b×c avec c entier.
• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b fournit un quotient et un reste, avec un reste inférieur à b.
• Reste nul : Un entier a est divisible par b quand la division euclidienne de a par b donne un reste égal à 0.
• Critères de divisibilité : Ce sont des règles qui permettent de vérifier rapidement la divisibilité sans refaire une division euclidienne.

📝 Points essentiels

• Un entier a est multiple de b s’il existe un entier c tel que a=b×c, et dans ce cas b divise a.
• Pour savoir si a est multiple de b, on fait la division euclidienne de a par b : si le reste vaut 0, alors a est un multiple de b.
• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

💡 Astuce mémo

Divisible par 2 : unités pairs (0-2-4-6-8) ; divisible par 5 : unités 0 ou 5.

📖 2. Fractions irréductibles et proportion

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
• Proportion : Une proportion mesure la part d’une quantité par rapport à la quantité totale, sous forme de fraction.
• Fraction réduite : Une fraction réduite est obtenue en simplifiant la fraction jusqu’à la rendre irréductible.
• Quotient fractionnaire : Un quotient fractionnaire est le résultat d’une division d’entiers qui n’est pas entière, s’écrivant sous forme de fraction.

📝 Points essentiels

• Pour réduire une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre qui divise les deux nombres de départ.
• La fraction 35/15 se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 5, ce qui donne 7/3, qui est irréductible.
• La proportion d’eau dans un vase se calcule comme volume d’eau dans le vase divisé par le volume total du vase.
• On peut additionner ou soustraire deux fractions seulement quand elles ont le même dénominateur, en additionnant ou soustrayant les numérateurs.

💡 Astuce mémo

Même diviseur au numérateur et au dénominateur → on divise les deux : la fraction finit irréductible.

📖 3. Agrandissement et réduction

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement : L’agrandissement est le fait de multiplier la longueur d’un segment par un coefficient k supérieur à 1 pour obtenir un segment plus grand.
• Réduction : La réduction est le fait de multiplier la longueur d’un segment par un coefficient k inférieur à 1 pour obtenir un segment plus petit.
• Coefficient k : Le coefficient k est le nombre par lequel on multiplie une longueur pour déterminer si le segment s’agrandit ou se réduit.
• Périmètre multiplié : Le périmètre multiplié est la conséquence d’une mise à l’échelle où tous les côtés d’une figure sont multipliés par le même nombre.

📝 Points essentiels

• Si on multiplie la longueur d’un segment par un nombre k tel que k>1, le segment s’agrandit.
• Si on multiplie la longueur d’un segment par un nombre k tel que k<1, le segment rapetisse.
• Dans une figure, si tous les côtés sont multipliés par le même nombre, alors le périmètre est multiplié par ce même nombre.

💡 Astuce mémo

k > 1 = agrandit ; k < 1 = réduit.

📖 4. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Un théorème reliant les longueurs dans un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés perpendiculaires.
• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit d’un triangle rectangle, c’est le plus grand des côtés.
• Triangle rectangle : Un triangle qui possède un angle droit et donc deux côtés perpendiculaires.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $BC^2=AB^2+AC^2$ où $BC$ est l’hypoténuse.
• Pour appliquer le théorème, on repère d’abord l’angle droit puis on place au carré la longueur opposée à cet angle.
• Le théorème permet de calculer une longueur manquante : on isole le terme au carré puis on prend la racine carrée.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse carrée = somme des deux carrés (H² = C1² + C2²).

📖 5. Carrés parfaits et triplets pythagoriciens

🔑 Notions clés & Définitions

• Carré parfait : Un carré parfait est un entier positif qui s’écrit comme le carré d’un autre entier positif.
• Triplet pythagoricien : Un triplet de trois nombres entiers positifs (a,b,c) est pythagoricien si le carré du plus grand vaut la somme des carrés des deux autres.
• Évaluer un carré : Calculer un carré, c’est déterminer a2 pour savoir si une valeur est un carré parfait ou pour appliquer Pythagore.

📝 Points essentiels

• Un entier positif b est un carré parfait s’il existe un entier positif a tel que b=a2 (exemples : 36=6^2 et 40 n’est pas un carré parfait).
• Pour vérifier un triplet (a,b,c), on teste c^2=a^2+b^2 (exemples mentionnés : (3,4,5), (5,12,13) et (6,8,10)).
• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté, donc le nombre dont on calcule la racine carrée correspond à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.
• Quand la longueur cherchée n’est pas l’hypoténuse, on utilise une soustraction après Pythagore (on calcule d’abord le carré attendu puis on retranche le carré connu).

📖 6. Nombres irrationnels

📖 7. Applications du théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : La réciproque du théorème de Pythagore affirme qu’un triangle devient rectangle si l’égalité des carrés est vérifiée avec le plus grand côté.

📝 Points essentiels

• Si BC est le plus grand côté et que BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.
• Quand on cherche une longueur manquante dans un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore.
• Quand on connaît les trois longueurs d’un triangle, on utilise la réciproque pour prouver qu’il est rectangle.
• Dans l’exemple AB = 10 cm, AC = 10,5 cm et BC = 14,5 cm, on calcule AB² + AC² = 100 + 110,25 = 210,25 = BC², donc le triangle est rectangle en A.

💡 Astuce mémo

Grand côté au carré = somme des deux autres carrés ⇒ angle droit (réciproque).

📖 8. Rénovation de l’obélisque

🔑 Notions clés & Définitions

• Pyramide régulière à base carrée : Une pyramide régulière à base carrée est une pyramide dont la base est un carré et dont le sommet est placé de façon symétrique au-dessus du centre de la base.
• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment est le point situé exactement au centre du segment, à égale distance de ses deux extrémités.
• Segments perpendiculaires : Deux segments perpendiculaires forment un angle droit, ce qui traduit une relation de verticalité entre leurs directions.

📝 Points essentiels

• On ne traite que les surfaces à l’air libre de l’obélisque.
• Dans le document 1, J est le milieu du segment [HG].
• Dans le document 1, K est le milieu du segment [BC].
• Dans le document 1, la droite (JI) est perpendiculaire au plan (HG).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre « multiple de b » (a=b×c) et « divisible par b » (reste nul dans la division euclidienne).
2. Croire qu’on peut réduire une fraction en divisant seulement le numérateur ou seulement le dénominateur par un nombre commun.
3. Additionner deux fractions de dénominateurs différents directement, alors qu’ici on ne peut additionner/soustraire que si le dénominateur est le même.
4. Mélanger agrandissement et réduction : utiliser k>1 pour « réduire » ou k<1 pour « agrandir ».
5. Se tromper d’hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit et donc le plus grand côté du triangle rectangle.
6. Utiliser Pythagore au lieu de la réciproque (ou l’inverse) : la réciproque sert à prouver qu’un triangle est rectangle quand on connaît les trois longueurs.
7. Penser qu’un nombre n’est pas irrationnel parce qu’il « est proche » d’un décimal : il faut distinguer valeur approchée et caractère irrationnel.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir multiple et diviseurs (a multiple de b ⇔ il existe c entier tel que a=b×c).
2. Interpréter une division euclidienne et savoir conclure : reste 0 ⇔ divisibilité.
3. Utiliser les critères de divisibilité 2, 3, 5, 9, 10 à partir des chiffres.
4. Réduire une fraction en divisant numérateur et dénominateur par un même diviseur commun jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
5. Calculer une proportion sous forme de fraction (part/total) et additionner/soustraire des fractions seulement avec même dénominateur.
6. Faire une mise à l’échelle : reconnaître agrandissement/réduction selon k, et conclure que le périmètre est multiplié par k.
7. Appliquer le théorème de Pythagore : repérer l’angle droit, écrire H²=C1²+C2², isoler le terme au carré puis prendre la racine carrée.
8. Utiliser carrés parfaits et triplets pythagoriciens pour gagner du temps (vérifier c²=a²+b², repérer les triplets).
9. Utiliser la réciproque : si le plus grand côté vérifie BC²=AB²+AC², conclure que le triangle est rectangle.
10. Déterminer une preuve rectangle ou une longueur manquante en suivant le bon « point méthode » (théorème vs réciproque).
11. Mobiliser les propriétés sur les pyramides (volume d’une pyramide : V=1/3×A_base×hauteur) et les relations utilisant Pythagore si demandé.
12. Savoir distinguer rationnels/irrationnels : reconnaître qu’un nombre irrationnel n’a pas d’écriture décimale qui finit ni de suite répétée, et savoir donner une valeur approchée au centième dans les calculs demandés, puis traiter les questions d’équations par remplacement de l’inconnue par une valeur testée.