Cuestionario: Propriétés fondamentales des vecteurs en plan — 8 preguntas

1. Qu'est-ce que la norme d’un vecteur en plan ?

A. La longueur du vecteur, calculée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées

B. La somme des coordonnées x et y du vecteur

C. La direction du vecteur, indiquant l’angle avec l’axe horizontal

D. La projection du vecteur sur l’axe x

Answer: (A)

Explicación

La norme d’un vecteur en plan est sa longueur ou magnitude, calculée par ||u|| = √(x² + y²), ce qui correspond à la distance euclidienne entre l’origine et le point représenté par le vecteur. Les autres options décrivent des notions différentes : direction, projection, ou somme des coordonnées, qui ne sont pas la norme.

2. Quelle est la formule pour calculer la norme ||u|| d’un vecteur u(x, y) dans un plan orthonormé ?

A. ||u|| = x + y

B. ||u|| = √(x² + y²)

C. ||u|| = x² + y²

D. ||u|| = √(x + y)

Answer: (B)

Explicación

La norme ||u|| est donnée par la formule √(x² + y²), qui correspond à la longueur du vecteur dans le plan. Cette formule provient du théorème de Pythagore.

3. Quelle est la formule de la norme d’un vecteur u(x, y) dans un plan orthonormé ?

A. ||u|| = √(x² + y²)

B. ||u|| = √(x² - y²)

C. ||u|| = x² + y²

D. ||u|| = x + y

Answer: (A)

Explicación

La norme d’un vecteur dans le plan, correspondant à sa longueur ou magnitude, est donnée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées, soit ||u|| = √(x² + y²). Cette formule repose sur le théorème de Pythagore et est fondamentale en géométrie vectorielle.

4. Comment calcule-t-on les coordonnées d’un point B après translation du point A(x_A, y_A) par le vecteur u(x, y) ?

A. (x_A - x, y_A - y)

B. (x_A + x, y_A + y)

C. (x_A * x, y_A * y)

D. (x_A / x, y_A / y)

Answer: (B)

Explicación

Les coordonnées du point B après translation par le vecteur u sont obtenues en additionnant les coordonnées du point A à celles du vecteur u, selon (x_A + x, y_A + y).

5. Quelle propriété caractérise la colinéarité de deux vecteurs u et v dans le plan ?

A. Leurs coordonnées sont égales

B. Ils ont une norme égale

C. L’un est un multiple scalaire de l’autre

D. Ils sont orthogonaux

Answer: (C)

Explicación

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un peut s’écrire comme un multiple scalaire de l'autre, ce qui signifie qu’ils ont la même ou la même orientation, mais pas nécessairement la même longueur.

6. Quel est le rapport entre le déterminant (u, v) de deux vecteurs u et v dans le plan et leur colinéarité ?

A. Le déterminant est nul si et seulement si ils sont colinéaires

B. Le déterminant est maximal si ils sont colinéaires

C. Le déterminant ne donne aucune information sur leur colinéarité

D. Le déterminant est un nombre complexe en cas de colinéarité

Answer: (A)

Explicación

Le déterminant de deux vecteurs dans le plan est nul si et seulement si ces vecteurs sont colinéaires, ce qui reflète l’absence de surface délimitée par eux.

7. Quelle est la relation entre la norme du vecteur somme u + v et les normes u et v ?

A. ||u + v|| = ||u|| + ||v||

B. ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

C. ||u + v|| = √(||u||² + ||v||²)

D. ||u + v|| = max(||u||, ||v||)

Answer: (B)

Explicación

La norme du somme de deux vecteurs est toujours inférieure ou égale à la somme des normes, ce qui est une manifestation de l’inégalité triangulaire.

8. Quel âge a la formule de la norme d’un vecteur en plan, souvent attribuée au théorème de Pythagore ?

A. Au XVIe siècle, lors de l’essor de la géométrie analytique par Descartes

B. Au IIe siècle, avec Pythagore, en Grèce antique

C. Au XVIIe siècle, avec Newton et Leibniz, lors du développement du calcul différentiel

D. Au XXe siècle, avec la formalisation de l’analyse vectorielle

Answer: (B)

Explicación

La formule de la norme basée sur √(x² + y²) découle directement du théorème de Pythagore, datant de la Grèce antique, avec Pythagore ou ses disciples.