Cuestionario: Relations de comparaison des suites — 9 preguntas

1. Laquelle de ces conditions caractérise la relation \(x=O(y)\) entre deux suites ?

A. Le quotient \(x_n/y_n\) est borné à partir d’un certain rang

B. La suite \(y_n\) converge nécessairement vers zéro

C. La suite \(x_n/y_n\) diverge vers l’infini

D. Le quotient \(x_n/y_n\) converge vers zéro

Answer: (A)

Explicación

La domination \(x=O(y)\) signifie que \(y_n\) est non nul à partir d’un certain rang et que le quotient \(x_n/y_n\) est borné. Une convergence du quotient vers zéro caractérise plutôt la négligeabilité.

2. Quelle est la définition de la négligeabilité entre deux suites x et y ?

A. x est négligeable devant y si x est de même ordre que y.

B. x est négligeable devant y si x/y converge vers 1 lorsque n tend vers l'infini.

C. x est négligeable devant y si x/y converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

D. x est négligeable devant y si x est bornée et y tend vers l'infini.

Answer: (C)

Explicación

La négligeabilité x=o(y) signifie que le rapport x/y tend vers 0, indiquant que x devient insignifiante devant y à l'infini. La réponse 1 décrit une relation différente, celle de l'ordre, et la 3 correspond à l'équivalence.

3. Si \(x=o(y)\) et si \(y_n\) est non nul à partir d’un certain rang, quelle conclusion peut-on tirer ?

A. On a nécessairement \(y=O(x)\)

B. La suite \(x_n\) est nécessairement bornée

C. On a nécessairement \(x=O(y)\)

D. Le quotient \(x_n/y_n\) est nécessairement constant

Answer: (C)

Explicación

La négligeabilité implique la domination : si le quotient \(x_n/y_n\) tend vers zéro, il est notamment borné à partir d’un certain rang. On obtient donc \(x=O(y)\).

4. Quel est le rôle principal de la comparaison des suites usuelles dans l'analyse asymptotique ?

A. Calculer la somme ou le produit de deux suites.

B. Déterminer si deux suites ont la même limite finie.

C. Vérifier si deux suites sont égales pour tout rang.

D. Établir la dominance ou la négligeabilité entre deux suites.

Answer: (D)

Explicación

La comparaison des suites usuelles sert principalement à établir si une suite est dominante ou négligeable par rapport à une autre, ce qui est essentiel pour l'analyse asymptotique.

5. Pour deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha<\beta\), quelle comparaison est correcte ?

A. Les deux suites sont toujours équivalentes

B. \(n^\alpha=o(n^\beta)\)

C. \(n^\beta=o(n^\alpha)\)

D. \(n^\alpha=O(n^\beta)\) est toujours fausse

Answer: (B)

Explicación

Une puissance de \(n\) associée à un exposant plus petit est négligeable devant celle associée à un exposant plus grand : \(n^\alpha=o(n^\beta)\) lorsque \(\alpha<\beta\).

6. Quand peut-on dire que deux suites x et y sont équivalentes, noté x~ y ?

A. Lorsque y_n est finalement non nul et que le rapport x_n/y_n converge vers 1.

B. Lorsque x_n et y_n ont la même limite finie.

C. Lorsque x_n - y_n tend vers 0.

D. Lorsque y_n est nul à partir d’un certain rang.

Answer: (A)

Explicación

L'équivalence x~ y est définie lorsque y_n est finalement non nul et que le rapport x_n/y_n converge vers 1, ce qui indique que les deux suites ont le même terme dominant.

7. Soient \(0<a<b\). Quelle relation décrit correctement la comparaison des suites exponentielles correspondantes ?

A. \(b^n=o(a^n)\)

B. \(a^n=o(n^b)\) pour tout réel \(b\)

C. \(a^n=o(b^n)\)

D. \(a^n\) et \(b^n\) sont toujours équivalentes

Answer: (C)

Explicación

Lorsque les bases sont positives et vérifient \(a<b\), la suite de plus petite base est négligeable devant celle de plus grande base : \(a^n=o(b^n)\).

8. Quelle est la principale différence entre la relation d'équivalence $x \sim y$ et la relation de négligeabilité $x=o(y)$ entre deux suites ?

A. L'équivalence est une relation symétrique, alors que la négligeabilité ne l'est pas.

B. L'équivalence nécessite que $x_n$ et $y_n$ soient de même signe à partir d'un certain rang, alors que la négligeabilité ne le requiert pas.

C. L'équivalence concerne la convergence de $x_n$ vers une limite, alors que la négligeabilité concerne la croissance de $x_n$ par rapport à $y_n$.

D. L'équivalence implique que le rapport rac{x_n}{y_n} tend vers 1, tandis que la négligeabilité implique que ce rapport tend vers 0.

Answer: (D)

Explicación

L'équivalence $x \sim y$ signifie que rac{x_n}{y_n} o 1, indiquant que les deux suites ont le même terme dominant, alors que $x=o(y)$ signifie que rac{x_n}{y_n} o 0, ce qui montre que $x$ devient négligeable devant $y$.

9. Qui est crédité de la formulation de la définition de l'équivalence entre deux suites dans l'analyse asymptotique ?

A. Paul Lévy

B. Isaac Newton

C. Jean-Pierre Serre

D. Augustin-Louis Cauchy

Answer: (D)

Explicación

Cauchy est reconnu pour avoir introduit la notion d'équivalence de suites dans le contexte de l'analyse asymptotique, notamment pour la rigueur dans la comparaison de comportements asymptotiques.