Hoja de repaso: Relations de comparaison des suites

📋 Plan du Cours

1. Domination et négligeabilité
2. Comparaison des suites usuelles
3. Opérations sur les comparaisons
4. Équivalence des suites
5. Obtention pratique des équivalents
6. Propriétés conservées par équivalence

📖 1. Domination et négligeabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Domination : La suite x est dominée par la suite y, notée $x=O(y)$, lorsque y_n est non nul à partir d’un certain rang et que la suite $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ est bornée.
• Négligeabilité : La suite x est négligeable devant la suite y, notée $x=o(y)$, lorsque y_n est non nul à partir d’un certain rang et que la suite $\left(\frac{x_n}{y_n}\right)$ converge vers 0.

★ À maîtriser

📌 La négligeabilité implique la domination : si $x=o(y)$, alors $x=O(y)$, sous réserve que y_n soit non nul à partir d’un certain rang.

Compléments

• Pour toute suite x, $x=O(1)$ équivaut à dire que x est bornée, tandis que $x=o(1)$ équivaut à dire que x converge vers 0.

📖 2. Comparaison des suites usuelles

★ À maîtriser

📌 Si $\alpha<\beta$, alors $n^\alpha=o(n^\beta)$.

📌 Si $0<a<b$, alors $a^n=o(b^n)$.

Compléments

📌 Si $\alpha>0$ et $a>1$, alors $n^\alpha=o(a^n)$.

📌 Si $\alpha>0$ et $0<a<1$, alors $\left(\frac{1}{a}\right)^n=o(n^\alpha)$.

• Pour tout réel non nul a, $a^n=o(n!)$, et $n!=o(n^n)$.

📖 3. Opérations sur les comparaisons

★ À maîtriser

• La domination et la négligeabilité sont transitives selon les chaînes correspondantes : par exemple, $x=O(u)$ et $u=O(v)$ impliquent $x=O(v)$, tandis que $x=o(u)$ et $u=o(v)$ impliquent $x=o(v)$.

📌 Si $x=O(u)$ et $y=O(u)$, alors pour tous scalaires $\lambda$ et $\mu$, $\lambda x+\mu y=O(u)$.

📌 Si $u_n\to a$ et si $f(a)=O(g(a))$, alors $f(u_n)=O(g(u_n))$ ; de même, $f(a)=o(g(a))$ implique $f(u_n)=o(g(u_n))$ lorsque $g(u_n)$ est finalement non nul.

Compléments

📌 Si $x=O(u)$ et $y=O(v)$, alors $xy=O(uv)$ ; si l’une des relations est en petit o, le produit est en petit o selon les règles de stabilité du cours.

📖 4. Équivalence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : La suite x est équivalente à la suite y, notée $x\sim y$, lorsque y_n est finalement non nul et que $\frac{x_n}{y_n}\to1$.

📝 Points essentiels

• Pour des suites dont le dénominateur est finalement non nul, $x\sim y$ équivaut à $x-y=o(y)$, c’est-à-dire à $x=y+o(y)$.

• L’équivalence est symétrique et transitive : $x\sim y$ implique $y\sim x$, et $x\sim y$ avec $y\sim z$ implique $x\sim z$.

📖 5. Obtention pratique des équivalents

★ À maîtriser

📌 Si une suite x converge vers une limite non nulle L, alors $x\sim L$.

📌 Si $x\sim y$ et si $x\leq y\leq z$ à partir d’un certain rang, avec $x\sim u$ et $z\sim u$, alors $y\sim u$.

📌 Les équivalents se multiplient et se divisent terme à terme lorsque les dénominateurs sont finalement non nuls : si $x\sim y$ et $x'\sim y'$, alors $xx'\sim yy'$ et $\frac{x}{x'}\sim\frac{y}{y'}$.

• On ne peut pas sommer deux équivalents ni appliquer automatiquement une fonction à deux équivalents, car ces opérations peuvent modifier ou annuler les termes dominants.

Compléments

📌 Si $x\sim y$ et si les puissances sont définies à partir d’un certain rang, alors pour tout réel $\alpha$, $x^\alpha\sim y^\alpha$.

📖 6. Propriétés conservées par équivalence

★ À maîtriser

📌 Si x et y sont des suites réelles, si y est finalement non nulle et si $x\sim y$, alors x et y sont de même signe à partir d’un certain rang.

📌 Si $x\sim y$ et si x admet une limite, alors y admet la même limite.

• Pour une suite réelle $\varepsilon_n\to0$, les équivalents usuels comprennent $\sin(\varepsilon_n)\sim\varepsilon_n$, $\tan(\varepsilon_n)\sim\varepsilon_n$, $\ln(1+\varepsilon_n)\sim\varepsilon_n$ et $e^{\varepsilon_n}-1\sim\varepsilon_n$.

Compléments

• Pour une suite réelle $\varepsilon_n\to0$, on a $1-\cos(\varepsilon_n)\sim\frac{\varepsilon_n^2}{2}$ et $\cosh(\varepsilon_n)-1\sim\frac{\varepsilon_n^2}{2}$.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des relations

Relation	Condition sur le rapport	Conséquence
$x=O(y)$	$x_n/y_n$ est borné	x est contrôlée par y
$x=o(y)$	$x_n/y_n\to0$	x devient négligeable devant y
$x\sim y$	$x_n/y_n\to1$	x et y ont le même terme dominant