Hoja de repaso: Résolution de systèmes linéaires à deux inconnues

📋 Plan du Cours

1. Systèmes de deux équations à deux inconnues
2. Méthode de substitution pour résoudre un système
3. Méthode des combinaisons linéaires
4. Résolution graphique d’un système à une solution
5. Système sans solution : droites parallèles
6. Système avec infinité de solutions : droites confondues

📖 1. Systèmes de deux équations à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations : Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément par les mêmes valeurs de $x$ et $y$.
• Deux inconnues : Deux inconnues sont les variables $x$ et $y$ dont on cherche les valeurs qui satisfont toutes les équations du système.
• Solution du système : Une solution du système est un couple $(x;y)$ qui vérifie en même temps les deux équations.
• Ensemble des solutions : L’ensemble des solutions, noté $S$, regroupe tous les couples $(x;y)$ qui satisfont le système.

📝 Points essentiels

• Un couple $(x;y)$ est solution si chaque équation devient vraie quand on remplace $x$ et $y$ par ces valeurs.
• On écrit un système sous la forme de deux égalités alignées, par exemple $2x-y=0$ et $3x-4y=-5$.
• Le système peut avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions selon la position des droites associées.
• Dans l’exemple $2x-y=0$ et $3x-4y=-5$, le couple $(1;2)$ vérifie bien les deux équations.
• La notation $S=\{(x;y)\}$ est utilisée quand il n’y a qu’un seul couple solution.

💡 Astuce mémo

Solution = couple qui rend les deux équations vraies en même temps.

📖 2. Méthode de substitution pour résoudre un système

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de substitution : La méthode de substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à la remplacer dans l’autre équation.
• Isolation d’une inconnue : Isoler une inconnue, c’est réécrire une équation sous la forme $x=\text{expression en }y$ ou $y=\text{expression en }x$.
• Substitution : La substitution est l’étape où l’expression isolée est remplacée dans l’autre équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.
• Résolution finale : La résolution finale est l’étape où l’on trouve la valeur restante puis on remonte pour obtenir l’autre inconnue.

📝 Points essentiels

• On choisit une équation où une inconnue s’isole facilement pour éviter des calculs trop compliqués.
• On isole par exemple $x$ dans l’équation $x-4y=14$ pour obtenir $x=14+4y$.
• On remplace ensuite $x$ par $14+4y$ dans l’autre équation, ici $3x+2y=0$.
• On obtient une équation ne contenant plus qu’une seule inconnue, par exemple $14y=-42$.
• On remonte pour trouver l’autre inconnue, ici $x=14+4\times(-3)=2$.
• On conclut avec le couple solution et la notation $S=\{(2;-3)\}$.

💡 Astuce mémo

Substitution = isoler puis remplacer : isoler $\rightarrow$ remplacer $\rightarrow$ résoudre.

📖 3. Méthode des combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des combinaisons linéaires : La méthode des combinaisons linéaires consiste à modifier et combiner les deux équations pour éliminer une inconnue.
• Élimination d’une inconnue : L’élimination d’une inconnue est le fait de transformer le système pour que cette inconnue disparaisse après addition ou soustraction.
• Multiplication d’une équation : Multiplier une équation par un nombre non nul permet d’obtenir le même ensemble de solutions tout en ajustant les coefficients.
• Addition ou soustraction d’équations : Additionner ou soustraire les équations permet d’obtenir une nouvelle équation plus simple, souvent à une seule inconnue.

📝 Points essentiels

• On cherche à obtenir le même coefficient devant une inconnue dans les deux équations avant de combiner.
• Pour le système $3x-2y=11$ et $6x+3y=15$, on multiplie la première équation par $2$ pour obtenir $6x-4y=22$.
• On soustrait ensuite les équations pour éliminer $x$ et obtenir une équation en $y$, ici $-7y=7$ donc $y=-1$.
• On remplace la valeur trouvée dans une des équations pour obtenir $x$, ici $3x+2=11$ donc $x=3$.
• Pour le système $3x-2y=7$ et $5x+3y=-1$, on multiplie la première par $5$ et la seconde par $3$ pour aligner les coefficients de $x$.
• On soustrait pour éliminer $x$ et trouver $y=-2$, puis on remonte pour obtenir $x=1$, donc $S=\{(1;-2)\}$.

💡 Astuce mémo

Combinaisons linéaires = aligner les coefficients puis additionner/soustraire pour faire disparaître une inconnue.

📖 4. Résolution graphique d’un système à une solution

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique : La résolution graphique consiste à représenter les deux équations sous forme de droites puis à lire leur intersection dans un repère.
• Équation de droite : Une équation du type $ax+by=c$ peut être réécrite sous la forme $y=mx+p$ pour tracer la droite correspondante.
• Point d’intersection : Le point d’intersection de deux droites est le couple $(x;y)$ qui vérifie simultanément les deux équations.
• Solution unique : Une solution unique correspond à un seul point d’intersection entre les deux droites associées.

📝 Points essentiels

• On réécrit chaque équation sous la forme $y=\text{expression en }x$ pour identifier deux droites à tracer.
• Pour $-2x+y=0$, on obtient $y=2x$.
• Pour $4x-y=4$, on obtient $y=4x-4$.
• La solution du système est le couple correspondant au point d’intersection des deux droites.
• Par lecture graphique, l’intersection donne $(2;4)$ pour ce système.
• On note alors $S=\{(2;4)\}$.

💡 Astuce mémo

Intersection des droites = couple solution.

📖 5. Système sans solution : droites parallèles

🔑 Notions clés & Définitions

• Système sans solution : Un système sans solution est un système pour lequel aucun couple $(x;y)$ ne vérifie simultanément les deux équations.
• Droites parallèles : Des droites parallèles ont le même coefficient directeur et ne se coupent pas.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le facteur de $x$ dans l’écriture $y=mx+p$, qui détermine la pente de la droite.
• Ensemble vide : L’ensemble vide, noté $S=\varnothing$, signifie qu’il n’existe aucun couple solution.

📝 Points essentiels

• On transforme les équations pour obtenir deux formes $y=mx+p$ et comparer les coefficients directeurs.
• Pour $-3x+y=1$, on obtient $y=3x+1$.
• Pour $6x-2y=6$, on obtient $y=-6x+6$ puis on simplifie pour obtenir une forme équivalente $y=3x-3$.
• Les deux droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont strictement parallèles.
• Des droites parallèles n’ont pas de point d’intersection, donc le système n’a pas de solution.
• On conclut par $S=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Même pente (même coefficient directeur) + pas de croisement = aucune solution.

📖 6. Système avec infinité de solutions : droites confondues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système avec infinité de solutions : Un système avec infinité de solutions admet une infinité de couples $(x;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.
• Droites confondues : Des droites confondues sont deux droites qui ont la même équation, donc tous leurs points sont communs.
• Équation identique : Une équation identique signifie que les deux équations se réduisent à la même relation entre $x$ et $y$.
• Infinité de points d’intersection : Avoir une infinité de points d’intersection signifie que les deux droites se superposent et se coupent en une infinité de points.

📝 Points essentiels

• On met les deux équations sous la forme $y=mx+p$ pour comparer leur équation finale.
• Pour $-6x-3y=-6$, on obtient une relation équivalente $y=-2x+2$.
• Pour $2x+y=2$, on obtient aussi $y=-2x+2$.
• Comme les deux droites ont la même équation, elles sont confondues.
• Deux droites confondues ont une infinité de points d’intersection.
• Le système admet donc une infinité de solutions, tous les couples $(x;y)$ vérifiant $y=-2x+2$.

💡 Astuce mémo

Même équation $y=mx+p$ pour les deux droites = infinité de solutions.

📊 Tableaux de synthèse

Cas possibles selon la position des droites

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre droites parallèles et droites confondues : parallèles = même pente mais pas même droite, confondues = même équation.
2. Croire qu’une solution graphique est forcément entière : la lecture graphique donne le couple d’intersection, qui peut être non entier selon le tracé.
3. En substitution, isoler une inconnue qui crée des fractions : le cours signale que cela complique les calculs.
4. En combinaisons linéaires, ne pas aligner les coefficients avant d’additionner/soustraire : l’élimination d’une inconnue ne se fait pas correctement.
5. Penser que $S$ est toujours un ensemble avec un seul couple : $S$ peut être vide ($\varnothing$) ou contenir une infinité de couples.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir ce qu’est une solution d’un système et reconnaître la notation $S$.
2. Savoir résoudre un système par substitution : isoler une inconnue, substituer, résoudre l’équation obtenue, puis conclure avec le couple solution.
3. Savoir résoudre un système par combinaisons linéaires : multiplier pour aligner les coefficients, additionner/soustraire pour éliminer une inconnue, puis remonter.
4. Savoir interpréter une résolution graphique : réécrire en $y=mx+p$, tracer les deux droites, lire le point d’intersection et donner $S$.
5. Savoir conclure sans solution quand les droites sont strictement parallèles (même coefficient directeur) et écrire $S=\varnothing$.
6. Savoir conclure une infinité de solutions quand les droites sont confondues (même équation) et exprimer la famille de couples vérifiant l’équation commune.