Cuestionario: Structures et sous-groupes en algèbre et géométrie — 7 preguntas

1. Quelle est la définition du groupe GLn(K) ?

A. L'ensemble des matrices carrées à coefficients dans un corps commutatif K dont le déterminant est inversible dans K

B. L'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K

C. L'ensemble de toutes les matrices carrées à coefficients dans un corps commutatif K

D. L'ensemble des matrices carrées à coefficients dans un corps commutatif K dont le déterminant est nul

Answer: (B)

Explicación

Le groupe GLn(K) est défini comme l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, ce qui correspond à la première option.

2. Quelle affirmation correspond au sujet « Propriétés et sous-groupes particuliers des matrices réelles dans GLn(R) » ?

A. Matrices carrées : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

B. Le groupe GLn(K) est l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, avec la loi de produit matriciel

C. Ensemble des matrices : L'ensemble des matrices Mn(R) est l'ensemble de toutes les matrices carrées de taille n×n à coefficients réels, muni des opérations usuelles d'addition et de…

D. Corps commutatif : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

Answer: (C)

Explicación

Cette affirmation est directement issue de la partie du cours consacrée à ce sujet : Ensemble des matrices : L'ensemble des matrices Mn(R) est l'ensemble de toutes les matrices carrées de taille n×n à coefficients réels, muni des opérations usuelles d'addition et de….

3. Quelle affirmation correspond au sujet « Groupes de rotations planes et groupes diédraux : définitions et propriétés » ?

A. Symétrie orthogonale (réflexion) : Transformation géométrique de réflexion par rapport à un axe, appartenant au groupe orthogonal

B. Corps commutatif : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

C. Matrices carrées : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

D. Le groupe GLn(K) est l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, avec la loi de produit matriciel

Answer: (A)

Explicación

Cette affirmation est directement issue de la partie du cours consacrée à ce sujet : Symétrie orthogonale (réflexion) : Transformation géométrique de réflexion par rapport à un axe, appartenant au groupe orthogonal.

4. Quelle affirmation correspond au sujet « Produit direct de groupes et conditions de commutativité » ?

A. Matrices carrées : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

B. Produit direct : La construction d'un groupe à partir d'une famille de groupes (G1, ⊤1), (G2, ⊤2), ..., (Gn, ⊤n) où le groupe résultant G = G1 × ... × Gn est muni d'une loi définie par…

C. Corps commutatif : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

D. Le groupe GLn(K) est l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, avec la loi de produit matriciel

Answer: (B)

Explicación

Cette affirmation est directement issue de la partie du cours consacrée à ce sujet : Produit direct : La construction d'un groupe à partir d'une famille de groupes (G1, ⊤1), (G2, ⊤2), ..., (Gn, ⊤n) où le groupe résultant G = G1 × ... × Gn est muni d'une loi définie par….

5. Quelle affirmation correspond au sujet « Morphismes de groupes, noyaux, images et sous-groupes normaux » ?

A. Matrices carrées : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

B. Corps commutatif : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

C. Sous-groupes normaux : Quotients dont propriété universelle et théorème d’isomorphisme

D. Le groupe GLn(K) est l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, avec la loi de produit matriciel

Answer: (C)

Explicación

Cette affirmation est directement issue de la partie du cours consacrée à ce sujet : Sous-groupes normaux : Quotients dont propriété universelle et théorème d’isomorphisme.

6. Quelle affirmation correspond au sujet « Théorèmes d'isomorphisme et exemples de groupes cycliques avec fonction indicatrice d’Euler » ?

A. Matrices carrées : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

B. Corps commutatif : Le déterminant |P| d’une matrice carrée P

C. Fonction indicatrice d’Euler φ : La fonction φ de N∗ dans N∗ qui à tout n ∈ N∗ associe le nombre de générateurs de Z/nZ c’est à dire le nombre d’entiers compris entre 1 et n et premiers…

D. Le groupe GLn(K) est l'ensemble des matrices carrées inversibles à coefficients dans un corps commutatif K, avec la loi de produit matriciel

Answer: (C)

Explicación

Cette affirmation est directement issue de la partie du cours consacrée à ce sujet : Fonction indicatrice d’Euler φ : La fonction φ de N∗ dans N∗ qui à tout n ∈ N∗ associe le nombre de générateurs de Z/nZ c’est à dire le nombre d’entiers compris entre 1 et n et premiers….

7. Que dit le théorème de Cayley concernant tout groupe G ?

A. Il est toujours abélien.

B. Il est nécessairement fini.

C. Il est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G).

D. Il possède une représentation matricielle dans GLn(K).

Answer: (C)

Explicación

Le théorème de Cayley affirme que tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G).