Hoja de repaso: Variations et Monotonie des Fonctions

📋 Plan du Cours

1. Variations : croissante, décroissante, constante
2. Monotonie et tableau de variation
3. Exemples de fonctions monotones
4. Étude des variations d’une fonction
5. Extremums : maximum et minimum
6. Fonctions affines : variations selon a

📖 1. Variations : croissante, décroissante, constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction croissante vérifie que des entrées plus grandes donnent des sorties plus grandes ou égales sur l’intervalle considéré.
• Fonction strictement croissante : Une fonction strictement croissante impose que des entrées plus grandes donnent des sorties strictement plus grandes sur l’intervalle.
• Fonction décroissante : Une fonction décroissante vérifie que des entrées plus grandes donnent des sorties plus petites ou égales sur l’intervalle.
• Fonction strictement décroissante : Une fonction strictement décroissante impose que des entrées plus grandes donnent des sorties strictement plus petites sur l’intervalle.
• Fonction constante : Une fonction constante garde la même valeur pour tous les réels de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Sur I, f est croissante si pour tout a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
• Sur I, f est strictement croissante si pour tout a < b, on a f(a) < f(b).
• Sur I, f est décroissante si pour tout a ≤ b, on a f(a) ≥ f(b).
• Sur I, f est strictement décroissante si pour tout a < b, on a f(a) > f(b).
• Sur I, f est constante si pour tous a et b de I, f(a) = f(b).

💡 Astuce mémo

Croissante : flèche vers le haut (≤ ou <). Décroissante : flèche vers le bas (≥ ou >). Constante : ligne horizontale (égalité).

📖 2. Monotonie et tableau de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Monotone : Une fonction est monotone sur I si elle ne change pas de type de variation sur tout l’intervalle.
• Tableau de variation : Un tableau de variation résume le sens de variation d’une fonction sur les sous-intervalles de son domaine.

📝 Points essentiels

• Si f est strictement croissante sur I, alors f est croissante sur I.
• Si f ne change pas de variation sur I, on dit que f est monotone sur I.
• Une fonction monotone conserve l’ordre : si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b), et si a < b alors f(a) < f(b).
• Le tableau de variation sert à décrire les intervalles où la fonction est croissante puis décroissante (sans changement de sens à l’intérieur de chaque intervalle).
• La fonction de l’exemple 5 n’est pas monotone sur [-4;3] car elle change de variation en -3 et en -1.

💡 Astuce mémo

Monotone = pas de “changement de sens” : le tableau ne doit pas alterner croissant/décroissant sur I.

📖 3. Exemples de fonctions monotones

🔑 Notions clés & Définitions

• f : x ↦ 3x - 2 : La fonction affine f(x)=3x−2 est monotone sur R d’après les exemples du cours.
• g : x ↦ -5x + 1 : La fonction affine g(x)=−5x+1 est monotone sur R d’après les exemples du cours.

📝 Points essentiels

• La fonction f : x ↦ 3x - 2 est monotone sur R.
• La fonction g : x ↦ -5x + 1 est monotone sur R.
• La fonction de l’exemple 5 est décroissante sur [-4;-3].
• La fonction de l’exemple 5 est croissante sur [-3;-1].
• La fonction de l’exemple 5 est décroissante sur [-1;3].

💡 Astuce mémo

Pour l’exemple 5 : décroissant → croissant → décroissant (donc pas monotone sur tout [-4;3]).

📖 4. Étude des variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Étudier les variations : Étudier les variations consiste à repérer les intervalles où la fonction est croissante et ceux où elle est décroissante.

📝 Points essentiels

• Étudier les variations d’une fonction sur un ensemble D revient à déterminer les sous-intervalles de D où elle est croissante.
• Étudier les variations revient aussi à déterminer les sous-intervalles de D où elle est décroissante.
• Le but est de découper le domaine en morceaux où le sens de variation reste le même.
• Le tableau de variation est l’outil de synthèse associé à cette étude.
• Un changement de sens (croissant ↔ décroissant) empêche la monotonie sur l’intervalle global.

💡 Astuce mémo

Étude des variations = “découper D” en zones croissantes puis décroissantes.

📖 5. Extremums : maximum et minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Un maximum est une valeur atteinte par la fonction qui domine toutes les autres valeurs sur l’intervalle.
• Minimum : Un minimum est une valeur atteinte par la fonction qui est inférieure ou égale à toutes les autres valeurs sur l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Dire que f admet un maximum M sur I signifie que pour tout x de I, f(x) ≤ M et qu’il existe x0 avec f(x0)=M.
• Le maximum est atteint pour x = x0 lorsque f(x0)=M.
• Dire que f admet un minimum m sur I signifie que pour tout x de I, m ≤ f(x) et qu’il existe x0 avec f(x0)=m.
• Le minimum est atteint pour x = x0 lorsque f(x0)=m.
• Les définitions utilisent une inégalité valable pour tout x de l’intervalle, puis l’égalité au point d’atteinte.

💡 Astuce mémo

Maximum : tout le monde est ≤ M. Minimum : tout le monde est ≥ m.

📖 6. Fonctions affines : variations selon a

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+b avec a et b réels.
• Coefficient de linéarité : Le coefficient de linéarité est le paramètre a dans une fonction affine f(x)=ax+b.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est le paramètre b dans une fonction affine f(x)=ax+b.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction affine f(x)=ax+b, le sens de variation dépend uniquement du signe de a.
• Si a > 0, f est strictement croissante sur R.
• Si a < 0, f est strictement décroissante sur R.
• Si a = 0, f est constante.
• La démonstration compare x1 < x2 : quand a > 0, on obtient ax1 < ax2 puis f(x1) < f(x2).

💡 Astuce mémo

Signe de a = sens : + croît, - décroît, 0 constant.

📊 Tableaux de synthèse

Sens de variation des fonctions affines

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre croissante et strictement croissante : la première autorise l’égalité (≤), la seconde exige l’inégalité stricte (<).
2. Croire qu’une fonction monotone peut changer de sens : si elle change de variation, elle n’est pas monotone sur l’intervalle global.
3. Inverser les inégalités pour le maximum et le minimum : maximum implique f(x) ≤ M, minimum implique m ≤ f(x).
4. Penser que b influence le sens de variation des fonctions affines : seul le signe de a compte dans le cours.
5. Oublier que strictement croissante/décroissante implique simplement croissante/décroissante (mais pas l’inverse).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la condition exacte de croissante, strictement croissante, décroissante, strictement décroissante et constante sur un intervalle.
2. Savoir reconnaître la monotonie : une fonction est monotone si elle ne change pas de type de variation sur l’intervalle.
3. Savoir interpréter un tableau de variation : identifier les intervalles croissants et décroissants.
4. Savoir appliquer les exemples : décroissant sur [-4;-3], croissant sur [-3;-1], décroissant sur [-1;3] pour l’exemple 5.
5. Savoir utiliser les définitions d’un maximum et d’un minimum : inégalité pour tout x puis égalité au point d’atteinte.
6. Savoir déterminer le sens de variation d’une fonction affine f(x)=ax+b sur R à partir du signe de a (a>0, a<0, a=0).