Bases orthonormales et diagonalisation

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire en espace préhilbertien
2. Propriétés de l'orthogonalité
3. Familles orthogonales et orthonormales
4. Procédé Gram-Schmidt
5. Bases orthonormales en dimension finie
6. Projections orthogonales
7. Projecteurs et symétries orthogonaux
8. Distance à un sous-espace
9. Somme directe orthogonale
10. Endomorphismes autoadjoints
11. Spectre d’un endomorphisme autoadjoint
12. Diagonalisation et base orthonormée

📖 1. Produit scalaire en espace préhilbertien

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire euclidien : Sur un espace vectoriel réel 𝐸, c’est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. AUTEUR (source) : « On dit qu’une application 𝐵 de 𝐸 × 𝐸 est un produit scalaire (euclidien) sur 𝐸 quand 𝐵 est une forme bilinéaire, symétrique, définie-positive sur 𝐸. »
• Forme bilinéaire : Fonction 𝐵 : 𝐸 × 𝐸 → ℝ, linéaire dans chaque argument.
• Symétrie : Pour tout 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ⟨𝑥|𝑦⟩ = ⟨𝑦|𝑥⟩.
• Définie positive : Pour tout 𝑥 ≠ 0, ⟨𝑥|𝑥⟩ > 0.
• Notations : Le produit scalaire est noté ⟨ | ⟩ et la norme associée est ‖𝑥‖ = √⟨𝑥|𝑥⟩.

📝 Points essentiels