Flashcard: Analyse des limites et développement limité — 24 carte

Limite — définition ?

Valeur vers laquelle f(x) tend quand x approche a.

Propriétés limites — addition ?

Lim f + g = lim f + lim g.

Limite à l’infini — comportement ?

Étude du comportement de f(x) lorsque x tend vers +∞ ou -∞.

DL — rôle ?

Approximer localement une fonction par un polynôme.

Ordre DL — signification ?

Degré maximal du polynôme d’approximation.

Forme générale DL — expression ?

f(x) = P_n(x) + o((x - a)^n).

DL et approximation — lien ?

DL est une approximation locale basée sur les dérivées.

Propriétés DL — addition ?

DL de f + g = DL de f + DL de g.

Propriétés DL — produit ?

DL de f·g se calcule via convolution des coefficients.

DL — lien avec dérivabilité ?

DL d’ordre n implique n-fois dérivable en a.

Calcul limite avec dérivée — méthode ?

Utiliser la règle de l’Hôpital pour formes indéterminées.

Règle de l’Hôpital — conditions ?

Lim f/g = lim f’/g’ si limite indéterminée 0/0 ou ∞/∞.

Applications DL — en physique ?

Modéliser comportements locaux ou petites perturbations.

Étude asymptotique — but ?

Analyser le comportement de f(x) à l’infini ou en un point.

Approximation polynomiale — principe ?

Représenter une fonction par un polynôme localement.

Développements classiques — exemples ?

exp, sin, cos, ln autour de 0 ou a.

Taylor-Young — formule ?

f(x) ≈ Σ (f^{(k)}(a)/k!) (x - a)^k + R.

Développement de Maclaurin — cas particulier ?

Taylor en 0 : f(x) ≈ Σ (f^{(k)}(0)/k!) x^k.

Développements généralisés — extension ?

Séries avec termes non entiers ou logarithmiques.

Erreur d’approximation — quantification ?

Différence entre f et son DL, donnée par le reste R.

Formule du reste — rôle ?

Évaluer la précision de l’approximation polynomiale.

Erreur — importance ?

Garantir la fiabilité des approximations dans les calculs.

Limites usuelles — exemple ?

lim (sin x)/x = 1, lim (1/x) = 0.

DL — relation avec dérivées ?

Les coefficients dépendent des dérivées en a.