Analyse des suites et limites

📋 Plan du Cours

1. Suites et limites
2. Suites majorées et géométriques
3. Limites de fonctions et asymptotes
4. Exponentielle et logarithme népérien
5. Fonctions trigonométriques
6. Dérivation, continuité et convexité
7. Primitives, intégrales et équations différentielles
8. Combinatoire et dénombrement
9. Géométrie dans l'espace
10. Loi binomiale et grands nombres

📖 1. Suites et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Bernoulli : L’inégalité de Bernoulli donne une minoration de $(1+a)^n$ par une expression linéaire en $n$ lorsque $a>0$.
• Formes indéterminées : Les formes indéterminées sont des configurations où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure directement, comme $\infty-\infty$ ou $0\times\infty$.
• Limite vers +∞ : Une suite admet pour limite $+\infty$ quand ses valeurs deviennent arbitrairement grandes à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• Pour $a>0$ et $n\in\mathbb N$, on a $(1+a)^n\ge 1+na$.
• Si $u_n\to +\infty$, alors pour tout réel $M$ il existe un rang à partir duquel $u_n\ge M$.
• On rencontre notamment $\infty-\infty$ et $0\times\infty$ comme formes indéterminées, donc on ne peut pas conclure par simple calcul.
• Pour des comparaisons asymptotiques, si à partir d’un rang $u_n\le v_n$ et $u_n\to +\infty$, alors $v_n\to +\infty$.
• Théorème des gendarmes : si $u_n\le v_n\le w_n$ et $u_n\to \ell$ et $w_n\to \ell$, alors $v_n\to \ell$.

💡 Astuce mémo