Flashcard: Applications linéaires et matrices — 39 carte

Quelles conditions doit vérifier une application linéaire f : E → F ?

f(x+y) = f(x) + f(y) et f(αx) = αf(x) pour tous x,y∈E et α∈K.

Quelle condition caractérise une application linéaire f selon α, β ∈ K et x, y ∈ E ?

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

Quelle valeur prend une application linéaire f en 0_E ?

f(0_E) = 0_F.

Qu'est-ce qu'un endomorphisme de E ?

Une application linéaire de E dans E.

Qu'est-ce qu'une forme linéaire sur E ?

Une application linéaire de E dans K.

Qu'est-ce que l'image d'une application linéaire f:E→F ?

L'ensemble des vecteurs de F obtenus comme images d'éléments de E.

Que devient l'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire ?

Un sous-espace vectoriel de F.

Comment se définit le noyau d'une application linéaire f:E→F ?

L'ensemble des vecteurs de E envoyés sur le vecteur nul de F.

Quelle condition caractérise l'injectivité d'une application linéaire f ?

Son noyau est réduit au vecteur nul de E.

Que devient une famille liée par une application linéaire ?

Elle reste liée.

Quand une famille libre reste-t-elle libre par une application linéaire ?

Si l'application linéaire est injective.

Qu'est-ce que L(E,F) dans le contexte des applications linéaires ?

L'ensemble des applications linéaires de E dans F.

Quelle propriété possède L(E,F) dans l'espace des applications de E dans F ?

C'est un sous-espace vectoriel.

Que devient la somme de deux applications linéaires ?

Elle est linéaire.

Que devient le produit d'une application linéaire par un scalaire ?

Il est linéaire.

Que peut-on dire de la composée de deux applications linéaires ?

Elle est une application linéaire.

Que génère l'image d'une famille génératrice de E par une application linéaire f ?

Elle engendre Im(f).

Que devient l'image d'une base de E par un isomorphisme de E dans F ?

C'est une base de F.

Qu'est-ce qu'un isomorphisme entre espaces vectoriels E et F ?

Une application linéaire bijective de E dans F.

Qu'est-ce qu'un automorphisme de l'espace vectoriel E ?

Un isomorphisme de E dans E.

Quelle propriété a la réciproque d'une application linéaire bijective ?

Elle est linéaire.

Quand deux espaces vectoriels de dimension finie sont-ils isomorphes ?

Quand leurs dimensions sont égales.

Que signifie qu'une application linéaire entre espaces de même dimension finie est injective ?

Qu'elle est aussi surjective.

Que signifie qu'une application linéaire entre espaces de même dimension finie est surjective ?

Qu'elle est aussi injective.

À quoi équivaut l'injectivité et la surjectivité d'une application linéaire entre espaces de même dimension finie ?

À la bijectivité.

Que garantit l'existence d'une application linéaire f:E→F avec f(eᵢ)=fᵢ ?

Il existe une unique application linéaire f vérifiant f(eᵢ)=fᵢ pour tout i.

Quand une application linéaire f est-elle injective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?

f est injective si et seulement si (f₁,…,fₙ) est libre.

Quand une application linéaire f est-elle surjective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?

f est surjective si et seulement si (f₁,…,fₙ) engendre F.

Quand une application linéaire f est-elle bijective selon la famille (f₁,…,fₙ) ?

f est bijective si et seulement si (f₁,…,fₙ) est une base de F.

Comment construit-on la matrice M_{B,C}(u) d'une application linéaire u ?

On place dans la jᵉ colonne les coordonnées de u(eⱼ) dans la base C.

À quel espace appartient la matrice M_{B,C}(u) si dim(E)=p et dim(F)=n ?

M_{B,C}(u) appartient à M_{n,p}(K).

Quelle propriété a l'application u↦M_{B,C}(u) entre L(E,F) et M_{n,p}(K) ?

C'est un isomorphisme entre L(E,F) et M_{n,p}(K).

Quelle est la dimension de L(E,F) si dim(E)=p et dim(F)=n ?

dim L(E,F) = n × p.

Quelle formule relie la matrice de la composée v∘u aux matrices de u et v ?

M_{B_1,B_3}(v∘u) = M_{B_2,B_3}(v) M_{B_1,B_2}(u).

Qu'est-ce que la matrice de passage P_{B,B'} ?

C'est la matrice dont la jᵉ colonne est le jᵉ vecteur de B' exprimé dans B.

Quelle relation existe entre P_{B,B'} et P_{B',B} ?

P_{B,B'}^{-1} = P_{B',B}.

Comment exprimer X en fonction de X' et P_{B,B'} ?

X = P X'.

Comment calculer M' représentant u dans (B',C') à partir de M, P et Q ?

M' = Q^{-1} M P.

Quelle formule relie M' et M pour un endomorphisme u avec P_{B,B'} ?

M' = P^{-1} M P.