Flashcard: Comportement global des suites — 16 carte

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une liste ordonnée de nombres réels indexés par des entiers naturels.

Que désigne u_n dans une suite numérique ?

Le terme de rang n.

Quand une suite est-elle définie explicitement ?

Quand u_n s'exprime directement en fonction de n.

Quel est le cinquième terme de la suite u_n=2n+1 avec n≥0 ?

u_4=9.

Qu'est-ce qu'une suite définie par récurrence ?

Une suite avec un terme initial et une formule reliant chaque terme au précédent.

Donnez un exemple de suite définie par récurrence.

u_0=2 et u_{n+1}=2u_n+1 pour n≥0.

Comment calcule-t-on u_1 pour la suite u_0=2 et u_{n+1}=2u_n+1 ?

u_1=2u_0+1=5.

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite où u_{n+1}=u_n+R avec R réel appelé raison.

Quelle formule donne u_n dans une suite arithmétique ?

u_n = u_p + (n-p)R.

Comment calcule-t-on la somme des termes d'une suite arithmétique ?

S = (n-p+1)(u_p + u_n)/2.

Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?

Une suite où u_{n+1} = u_n × q avec u_n ≠ 0 et q ≠ 1, q appelé raison.

Quelle formule donne u_n dans une suite géométrique ?

u_n = u_p × q^{n-p}.

Comment calcule-t-on la somme des termes d'une suite géométrique ?

S = u_p (1 - q^{n-p+1}) / (1 - q).

Quelles sont les étapes pour démontrer une propriété par récurrence ?

Initialiser au rang p, établir l'hérédité de n à n+1, puis conclure pour tout n≥p.

Que consiste l'hérédité dans une démonstration par récurrence ?

Supposer la propriété vraie au rang n pour démontrer qu'elle l'est au rang n+1.

Que permet d'établir la démonstration par récurrence dans l'exemple donné ?

Que la somme 1+2+⋯+n vaut n(n+1)/2 pour tout n≥1.