Quiz: Comprendre les fonctions polynômes du second degré — 12 domande

1. Quelle expression définit une fonction polynôme du second degré ?

A. f(x)=ax^3+bx^2+c avec a≠0

B. f(x)=ax+ b avec a≠0

C. f(x)=a/x^2+bx+c avec a≠0

D. f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0

Answer: (D)

Spiegazione

Une fonction polynôme du second degré s’écrit sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$. Les autres expressions correspondent à un autre degré ou ne sont pas des polynômes du second degré.

2. Laquelle de ces fonctions est bien une fonction polynôme du second degré ?

A. k(x)=(x-4)(5-2x)

B. p(x)=7x-2

C. h(x)=5x^4-7x^2+3x-8

D. q(x)=\dfrac{3}{x}+1

Answer: (A)

Spiegazione

En développant $(x-4)(5-2x)$, on obtient une expression de degré 2, donc c’est bien un trinôme. Les autres propositions ne sont pas de degré 2.

3. Quelle écriture correspond à la forme canonique d’une fonction du second degré ?

A. a(x-\alpha)^2+\beta

B. \alpha x^2+\beta x+\gamma

C. ax^2+bx+c

D. a(x+\alpha)(x+\beta)

Answer: (A)

Spiegazione

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$. Cette écriture met directement en évidence le décalage horizontal et la valeur verticale.

4. Dans l’expression canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, que représentent les nombres $\alpha$ et $\beta$ ?

A. Le coefficient du terme en $x^2$ et le terme constant

B. Le décalage horizontal et la valeur verticale

C. Les racines de la fonction et leur somme

D. Le sommet et l’axe de symétrie

Answer: (B)

Spiegazione

$\alpha$ donne le décalage horizontal et $\beta$ la translation verticale. Le sommet et l’axe sont liés à cette écriture, mais ne sont pas ce que représentent directement $\alpha$ et $\beta$.

5. Pour une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, quelle formule donne $\alpha$ dans la forme canonique ?

A. $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$

B. $\alpha=\dfrac{c}{2a}$

C. $\alpha=-\dfrac{a}{2b}$

D. $\alpha=\dfrac{b}{2a}$

Answer: (A)

Spiegazione

On calcule $\alpha$ par $-\dfrac{b}{2a}$. La formule avec $-\dfrac{a}{2b}$ est une confusion fréquente et ne convient pas.

6. Si l’on connaît déjà $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, comment obtient-on $\beta$ ?

A. En calculant $f(\alpha)$

B. En prenant la valeur de $a$

C. En résolvant $f(x)=0$

D. En additionnant $\alpha$ et $a$

Answer: (A)

Spiegazione

Dans la forme canonique, $\beta=f(\alpha)$ : on évalue la fonction en $x=\alpha$. Cela donne la valeur verticale du sommet.

7. Que se passe-t-il pour les variations d’une fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ lorsque $a>0$ ?

A. Elle est constante sur ℝ

B. Elle est d’abord décroissante puis croissante

C. Elle est d’abord croissante puis décroissante

D. Elle est toujours croissante

Answer: (B)

Spiegazione

Quand $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut : la fonction décroît puis croît. Cela correspond à l’existence d’un minimum.

8. Quel est l’extrémum d’une fonction $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ lorsque $a<0$ ?

A. Un maximum égal à $\beta$ atteint en $x=\alpha$

B. Un minimum égal à $\beta$ atteint en $x=\alpha$

C. Aucun extrémum n’est atteint

D. Un maximum égal à $\alpha$ atteint en $x=\beta$

Answer: (A)

Spiegazione

Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas, donc la fonction admet un maximum en $x=\alpha$ de valeur $\beta$. Le minimum serait associé au cas $a>0$.

9. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, quelles sont les coordonnées du sommet ?

A. $(\alpha;\beta)$

B. $(\alpha;a)$

C. $(\beta;\alpha)$

D. $(a;\alpha)$

Answer: (A)

Spiegazione

Le sommet d’une parabole en forme canonique est le point $(\alpha;\beta)$. C’est précisément l’endroit où la fonction atteint son extrémum.

10. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie d’une parabole écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

A. $x=\alpha$

B. $y=\alpha$

C. $y=\beta$

D. $x=\beta$

Answer: (A)

Spiegazione

L’axe de symétrie est la droite verticale $x=\alpha$. Il passe par le sommet et partage la parabole en deux parties symétriques.

11. Pour tracer efficacement la courbe d’une fonction polynôme du second degré, quelle étape permet d’identifier immédiatement le sommet et l’orientation de la parabole ?

A. Mettre la fonction sous forme canonique

B. Calculer uniquement l’ordonnée à l’origine

C. Déterminer seulement le terme constant

D. Remplacer la fonction par sa dérivée

Answer: (A)

Spiegazione

La forme canonique met directement en évidence le sommet et l’axe de symétrie, ce qui facilite le tracé de la parabole. Les autres choix ne donnent pas ces informations géométriques de façon immédiate.

12. Dans une parabole d’axe de symétrie x=2, que peut-on dire de deux points situés à la même distance de cet axe ?

A. Ils sont forcément le sommet

B. Ils ont des abscisses égales à 2

C. Ils ont la même valeur de la fonction

D. Ils ont des ordonnées opposées

Answer: (C)

Spiegazione

Les points symétriques par rapport à l’axe x=2 ont la même valeur de f(x), donc la même ordonnée. Ils ne sont pas forcément le sommet, car le sommet est un point unique de la courbe.