a est un multiple de b
Spiegazione
L’écriture b|a signifie qu’il existe un entier q tel que a=bq, donc a est un multiple de b. La relation inverse correspondrait à a|b.
b divise a^k pour tout entier naturel k non nul
Spiegazione
Si b|a, alors b divise aussi a^k pour tout entier naturel k non nul. C’est une propriété directe de la divisibilité.
a=bq+r avec 0≤r<|b|
Spiegazione
La division euclidienne s’écrit a=bq+r avec 0≤r<|b|, où q est le quotient et r le reste. Cette condition sur r garantit l’unicité.
q=E(a/b)
Spiegazione
Lorsque b est positif, le quotient de la division euclidienne est la partie entière de a/b. Les autres expressions concernent d’autres cas ou sont incorrectes.
n divise a−b
Spiegazione
On a a ≡ b (mod n) si et seulement si n divise a−b. Cela exprime que a et b diffèrent d’un multiple de n.
Le reste de la division euclidienne de a par n
Spiegazione
Le nombre r est l’unique reste modulo n, donc le reste de la division euclidienne de a par n. Il appartient à l’intervalle {0,…,n−1}.
Lorsque p est premier et p ne divise pas a
Spiegazione
Le petit théorème de Fermat s’applique quand p est premier et que p ne divise pas a. Dans ce cas, a^{p−1} ≡ 1 (mod p).
a^p ≡ a (mod p)
Spiegazione
Pour p premier, on a pour tout a ∈ N : a^p ≡ a (mod p). C’est le corollaire direct du petit théorème de Fermat.
pgcd(a,b)=pgcd(b,r)
Spiegazione
Dans l’algorithme d’Euclide, on remplace le couple (a,b) par (b,r) sans changer le pgcd. C’est la propriété clé de la méthode.
C’est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes
Spiegazione
Le pgcd est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des divisions euclidiennes. Les quotients ne donnent pas directement le pgcd.
Il admet exactement deux diviseurs naturels distincts
Spiegazione
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs naturels distincts : 1 et lui-même. Cette définition exclut notamment 1.
Il possède un diviseur premier p avec p≤√n
Spiegazione
Si n n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que p≤√n. Cela sert de critère pour tester la primalité.
Lorsque leur pgcd vaut 1
Spiegazione
Deux entiers sont premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1. Cette condition exprime l’absence de diviseur commun non trivial.
a divise c
Spiegazione
Le lemme de Gauss dit que si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c. C’est un outil fondamental de divisibilité.
(a∨b)(a∧b)=|ab|
Spiegazione
Le cours donne la relation (a∨b)(a∧b)=|ab|, où ∨ désigne le ppcm et ∧ le pgcd. C’est une identité classique reliant les deux notions.
Lorsque pgcd(a,b)=1 et b≥2
Spiegazione
Si pgcd(a,b)=1 et b≥2, alors a admet un unique inverse modulo b dans {1,…,b−1}. L’existence dépend donc de l’être premier entre eux.
Lorsque pgcd(a,b) divise c
Spiegazione
Une équation diophantienne ax+by=c admet des solutions dans Z^2 si et seulement si pgcd(a,b) divise c. C’est la condition fondamentale d’existence.
D’écrire 1 sous la forme au+bv avec u,v entiers
Spiegazione
Si a et b sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que au+bv=1. Cette écriture est précisément l’identité de Bézout.
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Divisibilité — définition ?
b|a signifie qu'il existe q tel que a=bq.
Multiple d’un entier — définition ?
Un entier a est multiple de b si a=bq pour un q.
Division euclidienne — formule ?
a=bq+r avec 0≤r<|b|.
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