Critères et tests de convergence des séries

📋 Plan du Cours

1. Séries numériques définition
2. Convergence et divergence
3. Séries géométriques
4. Critère de convergence
5. Séries positives
6. Critère de comparaison
7. Critère d’équivalence
8. Série négligeable
9. Théorème de comparaison à une intégrale
10. Séries de Riemann
11. Règle nα
12. Critère de d’Alembert

📖 1. Séries numériques définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Somme infinie de termes d'une suite (un), notée ∑ un, dont la somme partielle de rang N est SN = ∑ n=0 à N un. La série est convergente si la limite de SN quand N tend vers l'infini existe et est finie ; sinon elle est divergente.

• Somme d'une série : La limite de la somme partielle SN quand N → +∞, notée ∑ un, S. Si cette limite existe, S est la somme de la série.

• Convergence et divergence : Une série converge si ses sommes partielles ont une limite finie ; elle diverge sinon. La propriété fondamentale : si ∑ un converge, alors lim n→+∞ un = 0.

• Séries positives : Séries dont tous les termes un sont positifs. Leur étude repose notamment sur le critère de comparaison, d’équivalence, et le théorème de comparaison à une intégrale.

• Critère de comparaison : Si deux séries de termes positifs un et vn vérifient un ≤ vn à partir d’un rang N, alors :

  • Si ∑ un diverge, alors ∑ vn diverge.
  • Si ∑ vn converge, alors ∑ un converge.