Flashcard: Dénombrement et combinatoire — 42 carte

Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Une collection d’éléments énumérés ou définis par une propriété.

Comment définit-on un ensemble par extension ?

En énumérant tous ses éléments.

Comment définit-on un ensemble par compréhension ?

En caractérisant ses éléments par une propriété.

Qu'est-ce que l'ensemble vide ?

Un ensemble ne contenant aucun élément.

Quel symbole représente l'ensemble vide ?

Le symbole $$\varnothing$$.

Comment sont les éléments dans un ensemble ?

Ils sont non ordonnés et distincts.

Comment appelle-t-on un ensemble à un seul élément ?

Un singleton.

Comment appelle-t-on un ensemble à deux éléments ?

Une paire.

Comment note-t-on qu'un élément a appartient à un ensemble E ?

On écrit a ∈ E.

Quelle condition définit l'inclusion d'un ensemble F dans un ensemble E ?

Tout élément de F appartient à E ou F est vide.

Comment note-t-on que F est inclus dans E ?

On écrit F ⊂ E.

Qu'est-ce que l'ensemble des parties de E ?

C'est l'ensemble de tous les sous-ensembles de E.

Comment note-t-on l'ensemble des parties de E ?

On le note 𝒫(E).

Quelle chaîne d'inclusions vérifient les ensembles de nombres ?

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Qu'est-ce que le complémentaire de A dans E ?

L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A.

Quelle condition caractérise un élément x dans le complémentaire de A ?

x appartient à E et n'appartient pas à A.

Qu'est-ce que l'intersection de A et B ?

L'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.

Quelle condition caractérise un élément x dans l'intersection de A et B ?

x appartient à A et à B.

Qu'est-ce que l'union de A et B ?

L'ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

Quelle condition caractérise un élément x dans l'union de A et B ?

x appartient à A ou à B.

Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini ?

C'est le nombre d'éléments de cet ensemble.

Comment note-t-on le cardinal d'un ensemble A ?

On le note Card(A), |A| ou #A.

Quelle formule relie le cardinal de A∪B si A et B sont disjoints ?

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B).

Quelle formule donne le cardinal de A∪B pour deux ensembles quelconques ?

Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B).

Comment calcule-t-on le cardinal du produit cartésien E×F ?

Card(E×F) = Card(E) × Card(F).

Qu'est-ce qu'un p-uplet dans un ensemble ?

Une suite ordonnée de p éléments avec répétitions autorisées.

Comment calcule-t-on le nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments ?

C'est égal à n puissance p.

Qu'est-ce qu'une permutation d'un ensemble à n éléments ?

Un ordre possible de ses n éléments.

Quelle est la définition de la factorielle d'un entier n ?

Le produit de tous les entiers de 1 à n.

Quelle valeur vaut 0! selon la définition de la factorielle ?

0! vaut 1.

Quelle relation récursive définit la factorielle n! ?

n! égale n multiplié par (n-1)!

Qu'est-ce qu'une combinaison de p éléments parmi n ?

Le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments sans ordre.

Quelle est la formule du nombre de combinaisons de p parmi n ?

C'est rac{n!}{(n-p)!p!}.

Que vaut rac{n}{0} et rac{n}{n} pour les coefficients binomiaux ?

Ils valent tous les deux 1.

Que vaut rac{n}{1} et rac{n}{n-1} pour les coefficients binomiaux ?

Ils valent tous les deux n.

Quelle égalité relie rac{n}{n-p} et rac{n}{p} ?

Ils sont égaux.

Quelle est la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux ?

rac{n}{p} + rac{n}{p+1} = rac{n+1}{p+1}.

Combien de parties possède un ensemble à n éléments ?

Un ensemble à n éléments possède 2^n parties.

Quelle égalité relie la somme des coefficients binomiaux à 2^n ?

La somme des coefficients binomiaux de p=0 à n est égale à 2^n.

Qu'est-ce qu'un arrangement de p éléments parmi n ?

C'est un p-uplet d'éléments distincts choisis dans un ensemble à n éléments avec p ≤ n.

Comment calcule-t-on le nombre de p-uplets distincts dans un ensemble à n éléments ?

Le nombre est donné par n! divisé par (n-p)!.

Quel est le nombre de tiercés ordonnés parmi 18 chevaux ?

Le nombre est 18! divisé par 15!, soit 4896.