Flashcard: Dérivée et calcul différentiel — 37 carte

Qu'est-ce que la différentiabilité composante par composante ?

Une fonction vectorielle est différentiable si chacune de ses composantes l'est.

Quelles opérations préservent la différentiabilité des fonctions ?

La somme, le produit, la composition et l'inverse de fonctions différentiables sont différentiables.

Pourquoi la fonction f(x,y)=y sin(xy) est-elle différentiable sur ℝ² ?

Parce que ses coordonnées, le produit et la composition avec le sinus sont différentiables.

Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à x ?

C'est y² cos(xy).

Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=y sin(xy) par rapport à y ?

C'est sin(xy) + xy cos(xy).

Quelles sont les dérivées partielles de h(x,y,z)=(x²(y+1), xz², y+1) ?

Elles sont (2x(y+1), z², 0), (x², 0, 1) et (0, 2xz, 0).

Quelle propriété ont les fonctions polynomiales, exponentielles et trigonométriques du cours ?

Elles ont des dérivées partielles continues sur leur domaine et sont de classe C1.

Quelle est la dérivée partielle de G(R,T)=R³T+R²T²+RT³ par rapport à R ?

C'est 3R²T + 2RT² + T³.

Quelle est la dérivée partielle de G(R,T)=R³T+R²T²+RT³ par rapport à T ?

C'est R³ + 2R²T + 3RT².

Quel est le domaine de définition de φ(p,q)=(ln(p²q²), ln(p−q+1)) ?

C'est p ≠ 0, q ≠ 0 et p + 1 > q.

Quelle est la dérivée partielle de φ(p,q) par rapport à p ?

C'est (2/p, 1/(p−q+1)).

Qu'est-ce que le gradient d'une fonction réelle ?

Le vecteur formé par ses dérivées partielles.

Quelle est la formule du gradient de f(x,y)=y sin(xy) ?

∇f(x,y)=(y² cos(xy), sin(xy)+xy cos(xy)).

Comment s'écrit la différentielle df de f(x,y)=y sin(xy) ?

df=y² cos(xy) dx + (sin(xy)+xy cos(xy)) dy.

Quelle est la valeur du gradient ∇f au point (1,π/2) ?

∇f=(0,1).

Quelle est la différentielle df au point (1,π/2) ?

df=dy.

Quelle est la valeur du gradient ∇G en (3,2) ?

∇G(3,2)=(86,99).

Comment s'écrit la différentielle dG en (3,2) ?

dG(3,2)=86 dR + 99 dT.

Que contient la matrice jacobienne d'une fonction vectorielle ?

Les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable.

Quelle est la forme de la matrice jacobienne de g(u,v) ?

J_g=2v^2 & 2uv \\ -\frac1{(u+v-1)^2} & -\frac1{(u+v-1)^2}3.

Quelle est la valeur de J_g en (1,1) ?

J_g(1,1)=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & -1\end{pmatrix}.

Quelle est la matrice jacobienne de h(x,y,z) ?

J_h=\begin{pmatrix}2x(y+1) & x^2 & 0 \\ z^2 & 0 & 2xz \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

Quelle est la matrice jacobienne de F(r,\varphi,\theta)=(r\cos\varphi,r\sin\theta) ?

J_F=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\theta & 0 & r\cos\theta\end{pmatrix}.

Quelle est la formule du déterminant jacobien de g(u,v) ?

Le déterminant jacobien de g vaut v(2u-v)/(u+v-1)^2.

Quelle est la valeur de det J_g en (1,1) ?

La valeur de det J_g(1,1) est 1.

Quelle est la formule du déterminant jacobien de h(x,y,z) ?

Le déterminant jacobien de h vaut -4x^2(y+1)z.

Quelle est la valeur de det J_h en (1,0,1) ?

La valeur de det J_h(1,0,1) est -4.

Quelle est la formule du déterminant jacobien de φ(p,q) ?

Le déterminant jacobien de φ vaut -2(p+q)/(pq(q-p-1)).

Quelle est la valeur de det J_φ en (1,1) ?

La valeur de det J_φ(1,1) est -4.

Qu'est-ce que la dérivée directionnelle de f dans la direction u ?

C'est le produit du gradient de f par u.

Comment s'exprime la dérivée directionnelle pour une fonction différentiable ?

Elle vaut df(x,y)u.

Quelle est la valeur du gradient de f(x,y)=xy² en (2,1) ?

Le gradient est (1,4).

Quelle est la dérivée directionnelle de f en (2,1) selon u=(1,-2) ?

Elle vaut −7.

Comment calcule-t-on la pente dans la direction u ?

Avec le vecteur unitaire U=u/||u|| et la formule ∂_U f(2,1)=∇f(2,1)·u/||u||.

Quelle est la direction de la plus forte pente du gradient ?

C'est la direction z=i+4j.

Quelle est la valeur de la plus forte pente du gradient en (2,1) ?

Elle est égale à √17.

Selon quelle direction la montée est-elle la plus douce parmi celles étudiées ?

Selon w=j−i, car sa pente positive est la plus petite.