Quiz: Fonction exponentielle : propriétés et applications — 18 domande

1. Quelles conditions caractérisent l’unique fonction exponentielle sur \(\mathbb{R}\) ?

A. Être positive, vérifier \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) et \(f(1)=1\)

B. Être dérivable, vérifier \(f'(x)=f(x)\) et \(f(0)=1\)

C. Être dérivable, vérifier \(f'(x)=1\) et \(f(0)=e\)

D. Être continue, vérifier \(f'(x)=-f(x)\) et \(f(0)=0\)

Answer: (B)

Spiegazione

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) dont la dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. Les autres propositions modifient la condition sur la dérivée ou la valeur initiale.

2. Que garantit l’unicité de la fonction exponentielle ?

A. Il existe une seule fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f'=f\) et \(f(0)=1\)

B. Toute fonction vérifiant \(f'=f\) est nécessairement constante

C. La fonction exponentielle est définie uniquement sur \(\mathbb{R}^+\)

D. Il existe deux fonctions différentes ayant la même dérivée et la même valeur en 0

Answer: (A)

Spiegazione

L’unicité signifie qu’il n’existe pas deux fonctions différentes satisfaisant simultanément \(f'=f\) et \(f(0)=1\). Cela distingue la fonction exponentielle de simples solutions sans condition initiale.

3. Quelle identité relie l’exponentielle d’une somme à un produit ?

A. \(\exp(x+y)=\exp(x)/\exp(y)\)

B. \(\exp(x+y)=\exp(x)\,\exp(y)\)

C. \(\exp(x+y)=\exp(x)+\exp(y)\)

D. \(\exp(x+y)=\exp(x-y)\)

Answer: (B)

Spiegazione

L’exponentielle transforme une somme en produit : \(\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\). La somme des arguments ne devient donc pas une somme des valeurs.

4. Comment peut-on écrire \(\exp(x-y)\) ?

A. \(\exp(x)\,\exp(y)\)

B. \(\exp(x)+\exp(y)\)

C. \(\exp(x)/\exp(y)\)

D. \(\exp(y)/\exp(x)\)

Answer: (C)

Spiegazione

On a \(\exp(x-y)=\exp(x)\exp(-y)=\exp(x)/\exp(y)\). C’est la différence d’exposants qui correspond à un quotient.

5. Que vaut \((\exp(x))^n\) pour un entier naturel \(n\) ?

A. \(\exp(x+n)\)

B. \(n\,\exp(x)\)

C. \(\exp(x^n)\)

D. \(\exp(nx)\)

Answer: (D)

Spiegazione

La puissance « remonte » dans l’exposant : \((\exp(x))^n=\exp(nx)\). Ce n’est ni une addition avec \(n\), ni une multiplication par \(n\) devant l’exponentielle.

6. Que désigne la constante \(e\) ?

A. \(e=\exp(2)\)

B. \(e=\exp(-1)\)

C. \(e=\exp(0)\)

D. \(e=\exp(1)\)

Answer: (D)

Spiegazione

La constante d’Euler est définie par \(e=\exp(1)\). On écrit alors \(\exp(x)\) sous la forme \(e^x\).

7. Quelle propriété est vraie pour tous réels \(a\) et \(b\) ?

A. \(e^{a+b}=e^a/e^b\)

B. \(e^{a+b}=e^a\,e^b\)

C. \(e^{a+b}=e^{ab}\)

D. \(e^{a+b}=e^a+e^b\)

Answer: (B)

Spiegazione

L’exponentielle d’une somme se traduit par un produit : \(e^{a+b}=e^a e^b\). C’est une propriété algébrique fondamentale de la notation \(e^x\).

8. Que vaut \((e^a)^n\) pour \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}\) ?

A. \(n e^a\)

B. \(e^{na}\)

C. \(e^{a/n}\)

D. \(e^{a+n}\)

Answer: (B)

Spiegazione

La règle des puissances donne \((e^a)^n=e^{na}\). L’exposant se multiplie par \(n\), il ne s’additionne pas.

9. Quelle est l’ensemble des solutions de \(e^x=e^a\) ?

A. \(x=e^a\)

B. \(x=a\)

C. \(x=a+1\)

D. \(x=0\)

Answer: (B)

Spiegazione

La fonction exponentielle étant injective, \(e^x=e^a\) équivaut à \(x=a\). On compare donc directement les exposants.

10. Quelle inéquation est équivalente à \(e^x\ge e^a\) ?

A. \(x\ge a\)

B. \(x=a\)

C. \(x<a\)

D. \(x\le a\)

Answer: (A)

Spiegazione

Comme l’exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre : \(e^x\ge e^a\iff x\ge a\). Le sens de l’inégalité ne s’inverse pas.

11. Quel est le signe de \(e^x\) pour tout réel \(x\) ?

A. Nul pour \(x=0\) seulement

B. Positif seulement pour \(x\ge 0\)

C. Strictement positif

D. Strictement négatif

Answer: (C)

Spiegazione

On a toujours \(e^x>0\) sur \(\mathbb{R}\), notamment parce que \(e^x=(e^{x/2})^2\). L’exponentielle n’est donc jamais nulle ni négative.

12. Quelle propriété de variation possède la fonction exponentielle sur \(\mathbb{R}\) ?

A. Elle est strictement décroissante

B. Elle est strictement croissante

C. Elle est constante

D. Elle est décroissante puis croissante

Answer: (B)

Spiegazione

La dérivée de \(e^x\) est \(e^x\), et comme cette dérivée est positive partout, la fonction est strictement croissante. Elle conserve donc l’ordre des réels.

13. Quelle est la dérivée de \(e^{ax+b}\) ?

A. \(e^{ax+b}\)

B. \(a\,e^{ax+b}\)

C. \((ax+b)e^{ax+b}\)

D. \((a+b)e^{ax+b}\)

Answer: (B)

Spiegazione

Par la règle de dérivation, on multiplie par la dérivée de l’exposant \(ax+b\), qui vaut \(a\). On obtient donc \((e^{ax+b})'=a e^{ax+b}\).

14. Si \(u\) est dérivable, quelle formule donne la dérivée de \(e^{u(x)}\) ?

A. \((e^{u(x)})'=e^{u(x)}\)

B. \((e^{u(x)})'=u'(x)e^{u(x)}\)

C. \((e^{u(x)})'=u(x)e^{u(x)}\)

D. \((e^{u(x)})'=u'(x)+e^{u(x)}\)

Answer: (B)

Spiegazione

La règle de chaîne donne \((e^u)'=u' e^u\). La dérivée de l’exposant apparaît comme facteur multiplicatif.

15. Quel est l’effet du signe de \(k\) sur la fonction \(x\mapsto e^{kx}\) ?

A. Elle croît seulement pour \(k=0\)

B. Elle décroît si \(k<0\) et croît si \(k>0\)

C. Elle croît si \(k<0\) et décroît si \(k>0\)

D. Elle est toujours constante

Answer: (B)

Spiegazione

L’allure de \(e^{kx}\) dépend du signe de \(k\) : si \(k>0\), la fonction croît, et si \(k<0\), elle décroît. Le cas \(k=0\) donne une fonction constante.

16. Quelle valeur repère correspond à \(e^1\) ?

A. \(e\)

B. 0

C. 2,7 exactement

D. 1

Answer: (A)

Spiegazione

On a \(e^1=e\). La valeur approchée de \(e\) est autour de 2,72, mais \(e^1\) désigne exactement la constante \(e\).

17. Pour \(u_n=e^{an}\), quel est le rapport \(u_{n+1}/u_n\) ?

A. \(e^{n+1}\)

B. \(e^a\)

C. \(a\)

D. \(e^{an}\)

Answer: (B)

Spiegazione

On calcule \(u_{n+1}=e^{a(n+1)}\) puis \(u_{n+1}/u_n=e^a\). Le rapport est donc constant, ce qui montre que la suite est géométrique.

18. Quelle nature possède la suite \(u_n=e^{an}\) ?

A. Elle est arithmétique de raison \(a\)

B. Elle est géométrique de raison \(a^n\)

C. Elle est constante de valeur \(e^a\)

D. Elle est géométrique de raison \(e^a\)

Answer: (D)

Spiegazione

La suite vérifie \(u_{n+1}/u_n=e^a\), donc elle est géométrique de raison \(e^a\). Ce n’est pas une suite arithmétique car la différence des termes n’est pas constante.